ペアノ核定理

数値解析において、ペアノ核定理は、線形関数によって定義される、幅広いクラスの数値近似（数値積分法など）の誤差範囲に関する一般的な結果である。この定理はジュゼッペ・ペアノに帰せられる。^[1]

を上で微分可能で上で有界変分であるすべての関数の空間とし、 を上の線型関数とします。 が次数の多項式をすべて消滅させる、すなわち であると仮定します。 さらに を満たす任意の2変数関数に対して、次が成り立つと仮定します。のペアノ核を次の表記法を使用してと定義します。ペアノ核定理[ ^{1] [2]}は、 の場合、倍連続的に微分可能なすべての関数に対して、次が成り立つことを述べ ています。${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \leq \nu}$$${\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}$$ ${\displaystyle g(x,\theta )}$${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$$${\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,}$$${\displaystyle L}$$${\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}$$$${\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}}$$${\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]}$${\displaystyle f}$${\textstyle \nu +1}$$${\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}$$

この結果から、の値に関するいくつかの境界が導かれます。${\displaystyle Lf}$$${\displaystyle {\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\| _{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{整列}}}$$

ここで、、はそれぞれタクシーノルム、ユークリッドノルム、最大ノルムである。^[2]${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

実際には、ペアノ核定理の主な応用は、すべての に対して正確な近似値の誤差を制限することです。上記の定理は、整数剰余を持つ に対するテイラー多項式から得られます。${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(xa)f'(a)+{\frac {(xa)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(xa)^{\nu }}{\nu !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}$

を近似値の誤差として定義し、の線形性との正確さを組み合わせて右辺の最後の項以外を全て消去し、表記法を使用して積分極限から-依存性を除去します。 ^[3]${\displaystyle L(f)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu}}$${\displaystyle (\cdot )_{+}}$${\displaystyle x}$

• 相違点の分割