ペアノ核定理

数値解析において、ペアノ核定理は、線形汎関数を用いて定義される、幅広いクラスの数値近似（数値積分など）の誤差限界に関する一般的な結果である。これはジュゼッペ・ペアノに帰属する。^{[ 1 ]}

させて ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$すべての関数の空間である${\displaystyle f}$微分可能な${\displaystyle (a,b)}$限定された変動を持つ${\displaystyle [a,b]}$、そして${\displaystyle L}$線形汎関数である${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$と仮定すると、${\displaystyle L}$次数 の多項式をすべて消滅させる${\displaystyle \leq \nu }$つまり$${\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}$$さらに、任意の二変数関数について${\displaystyle g(x,\theta )}$と${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$以下に該当するもの：$${\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,}$$そして、Peanoカーネルを定義する。${\displaystyle L}$として$${\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}$$表記法を用いて$${\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}}$$ペアノ核定理^{[ 1 ] [ 2 ]}によれば、${\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]}$すると、すべての関数に対して${\displaystyle f}$それは${\textstyle \nu +1}$連続的に微分可能な場合、 $${\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu$$ !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}

実際には、ペアノ核定理の主な応用は、すべてのに対して正確な近似の誤差を制限することである。${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$上記の定理は、テイラー多項式から導かれる。${\displaystyle f}$整数剰余付き:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(xa)f'(a)+{\frac {(xa)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(xa)^{\nu }}{\nu$ !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu  !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}

定義する${\displaystyle L(f)}$近似誤差として、線形性を使用して${\displaystyle L}$正確さと共に${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$右辺の最後の項以外をすべて消去し、${\displaystyle (\cdot )_{+}}$表記を削除${\displaystyle x}$積分範囲からの依存性。^{[ 3 ]}

• 分裂した相違点