パップスの面積定理

パップスの面積定理は、任意の三角形の 3 辺に接する 3つの平行四辺形の面積の関係を記述するものです。この定理は、ピタゴラスの定理の一般化とも考えられ、これを発見したギリシャの数学者アレクサンドリアのパップス(紀元 4 世紀) にちなんで名付けられました。

任意の三角形とその 2 つの辺に付いた任意の平行四辺形が与えられた場合、この定理は、3 番目の平行四辺形の面積が他の 2 つの平行四辺形の面積の合計と等しくなるように、3 番目の辺上に平行四辺形を構築する方法を示しています。

ABC を任意の三角形とし、ABDEとACFGを三角形の辺 AB と AC に接する 2 つの任意の平行四辺形とします。延長された平行四辺形の辺 DE と FG は H で交差します。線分 AH は三角形の辺 BC に接する 3 番目の平行四辺形 BCML の辺になります。つまり、BC 上に線分 BL と CM を作成します。BL と CM は平行で、長さは AH と等しくなります。平行四辺形の面積 (A で示される) には次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}}$

この定理は、ピタゴラスの定理を 2 つの点で一般化しています。まず、直角三角形だけでなく任意の三角形に適用でき、次に正方形ではなく平行四辺形を使用します。任意の三角形の 2 辺が正方形の場合、3 番目の辺の面積が等しい平行四辺形が生成され、2 辺が直角の脚である場合、3 番目の辺の平行四辺形も正方形になります。直角三角形の場合、直角の脚に 2 つの平行四辺形が接続されると、3 番目の辺の面積が等しい長方形が生成され、2 つの平行四辺形が正方形である場合、3 番目の辺の長方形も正方形になります。

平行四辺形ABDEとABUH は底辺の長さと高さが同じなので面積は同じです。同じ議論が平行四辺形ACFGとACVH、ABUHとBLQR、ACVHとRCMQにも当てはまります。次の式から、すでに目的の結果が得られています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}}$

• ハワード・イヴス:パップスのピタゴラスの定理の拡張。数学教師、第 51 巻、第 7 号 (1958 年 11 月)、pp. 544–546 (JSTOR)
• ハワード・イヴス『数学の偉大な瞬間（1650年以前）』アメリカ数学協会、1983年、ISBN  9780883853108、37ページ（抜粋、37ページ、Googleブックス）
• エリ・マオール：ピタゴラスの定理：4,000年の歴史。プリンストン大学出版局、2007年、ISBN 9780691125268、pp. 58–59（抜粋、p. 58、Google Books） 
• Claudi Alsina、Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics。MAA、2010、ISBN 9780883853481、pp. 77–78 (抜粋、p. 77、Google Books ) 

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