最適推定

応用統計学において、最適推定はベイズの定理に基づく正規化された 逆 行列法です。これは地球科学、特に大気探査で非常によく使用されます。逆行列問題は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}}$

基本的な概念は、ガウス統計を仮定し、経験的に決定された共分散行列を使用して、 行列Aを条件付き確率と変数に変換し、確率分布に変換することです。${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

通常、ほとんどの測定値の統計はガウス分布に従うと予想されます。したがって、たとえば については、次のように記述できます。 ${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})}$

${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right ]}$

ここで、mとnはそれぞれの要素数、 は解くべき行列 (線形または線形化順方向モデル)、 はベクトル の共分散行列です。 についても同様に行うことができます。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S_{y}}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}$

ここで、はいわゆる「事前」分布であるとみなされます。 はの事前値を表し、はその共分散行列です。 ${\displaystyle P({\vec {x}})}$${\displaystyle {\widehat {x_{a}}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}$

ガウス分布の優れた点は、それを記述するのに必要なパラメータが 2 つだけなので、問題全体をもう一度行列に変換できることです。次の形式であると仮定します。 ${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$

${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}$

${\displaystyle P({\vec {y}})}$は、与えられた値に対して、単に定数のスケーリング項であるため、無視することができます。これで、とを等しくすることで、、 の期待値とその共分散行列の両方を解くことができます。これにより、次の方程式が生成されます。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\widehat {x}}}$${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}}$

${\displaystyle {\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})}$

ガウス分布を使用しているため、期待値は最大尤度値に等しく、これは最大尤度推定の一種でもあります。

通常、最適推定では、取得された量のベクトルに加えて、共分散行列とともに 1 つの追加行列が返されます。これは解像度行列または平均化カーネルと呼ばれることもあり、次のように計算されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}}$

これは、取得したベクトルの特定の要素について、そのベクトルの他の要素がどの程度混在しているかを示します。プロファイル情報の取得の場合、通常は特定の高度の高度解像度を示します。たとえば、すべての高度の解像度ベクトルに、最も近い 4 つの近傍にゼロ以外の要素 (数値許容値内) が含まれている場合、高度解像度は実際のグリッド サイズの 4 分の 1 になります。

• Clive D. Rodgers ( 1976)。「熱放射の遠隔測定による大気温度と組成の取得」。地球物理学と宇宙物理学のレビュー。14 (4): 609。doi :10.1029/RG014i004p00609。

• Clive D. Rodgers (2000)。大気探査のための逆解析法：理論と実践。World Scientific。

• Clive D. Rodgers (2002)。「大気リモートセンシング: 逆問題」。第 4 回 Oxford/RAL 定量的地球観測春期スクールの議事録。オックスフォード大学。