ニーヴンの定数

数論 において、イヴァン・ニーヴンにちなんで名付けられたニーヴンの定数は、任意の自然数nの素因数分解で「平均的に」現れる最大の指数である。より正確には、 H (1) = 1、H ( n ) = 自然数n > 1の一意の素因数分解で現れる最大の指数と定義すると 、ニーヴンの定数は次のように与えられる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots }$

ここでζはリーマンゼータ関数である。^[1]

同じ論文でニーヴンは次のことも証明した。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})}$

ここでh (1) = 1、h ( n ) = 各自然数n  > 1の一意な素因数分解に現れる最小の指数、 oは小さなo表記、定数cは次のように与えられる。

${\displaystyle c={\frac {\zeta ({\frac {3}{2}})}{\zeta (3)}},}$

そしてその結果

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}$

• スティーブン・R・フィンチ著『数学定数』（数学とその応用百科事典）、ケンブリッジ大学出版局、2003年

• Weisstein、Eric W.「Niven の定数」。MathWorld。
• OEISシーケンス A033150 (ニーヴンの定数)