モードK平坦化

多重線型代数において、モードm平坦化^{[1] [2] [3]は、}行列化、マトリックス化、または展開^[4]とも呼ばれ、多元配列を（2元配列）で表される行列に再形成する操作です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A_{[m]}}$

行列化はベクトル化という数学的概念の一般化とみなすことができます。

テンソルのモードm行列化は行列として定義される。括弧内の順序が示すように、モードm列ベクトルは、他のすべてのモードインデックスをその範囲で掃引することによって配置され、小さいモードインデックスは大きいモードインデックスよりも急速に変化する。したがって^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{0}\times I_{1}\times \cdots \times I_{M}},}$${\displaystyle {\bf {A}}_{[m]}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times (I_{0}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}$

$${\displaystyle [{\bf {A}}_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},}$$ ここで、 比較すると、展開^[4]から得られる 行列は、括弧内の順序でわかるように、モードm + 1から始めて循環的にすべてのモードを掃引した結果の列を持つ。これは、行列化の非効率的な方法である。^{[引用が必要]}${\displaystyle j=i_{m}}$$${\displaystyle k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{\ell =0 \atop \ell \neq m}^{n-1}I_{\ell }.}$$${\displaystyle {\bf {A}}_{[m]}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times (I_{m+1}\dots I_{M}I_{0}I_{1}\dots I_{m-1})}}$

この演算はテンソル代数や、 ParafacやHOSVDなどのその手法で使用されます。^[要出典]