最小偏差

プリズムでは、偏角 ( δ ) は入射角 ( i ) が特定の角度まで増加するにつれて減少します。プリズムの偏角が最小となるこの入射角はプリズムの最小偏角位置と呼ばれ、その偏角は最小偏角( δ _min、D _λ、またはD _mで表される) として知られています。

最小偏向角度は屈折率と次のように関係します。

${\displaystyle n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}}$

これは、物質の屈折率を計算するのに役立ちます。虹とハローは最小偏差で発生します。また、薄いプリズムは常に最小偏差に設定されます。

最小偏差では、プリズム内の屈折光線はプリズムの底面と平行になります。言い換えれば、光線はプリズムの対称軸に対して対称です。^{[1] [2] [3]また、屈折角は等しく、} r ₁ = r ₂ です。入射角と出射角は互いに等しくなります（i = e）。これは下のグラフで明確に確認できます。

最小偏差の式は、プリズムの幾何学的形状を利用することで導き出すことができます。このアプローチでは、上記の特性を利用して、 スネルの法則の変数を偏差とプリズム角度に置き換えます。

の角度の和から、 ${\textstyle \triangle OPQ}$

${\displaystyle A+\angle OPQ+\angle OQP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle \implies A=180^{\circ }-(90-r)-(90-r)}$ ${\displaystyle \implies r={\frac {A}{2}}}$

の外角定理を用いると、 ${\textstyle \triangle PQR}$

${\displaystyle D_{m}=\angle RPQ+\angle RQP}$ ${\displaystyle \implies D_{m}=i-r+i-r}$ ${\displaystyle \implies 2r+D_{m}=2i}$ ${\displaystyle \implies A+D_{m}=2i}$ ${\displaystyle \implies i={\frac {A+D_{m}}{2}}}$

これは、プリズムの式にi = eを代入することによっても導かれます： i + e = A + δ

スネルの法則から、

${\displaystyle n_{21}={\dfrac {\sin i}{\sin r}}}$

$${\displaystyle \therefore n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}}$$^{[4] [3] [1] [2] [5] [過剰な引用]}

$${\displaystyle \therefore D_{m}=2\sin ^{-1}\left(n\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\right)-A}$$

(ここで、nは屈折率、Aはプリズム角、D _{m は}最小偏角です。)

これは、物質（液体または気体）の屈折率を測定するのに便利な方法であり、物質が満たされたごくわずかな厚さのプリズム、または物質に浸されたガラスプリズムに光線を通すことで屈折率を測定する。^{[5] [3] [1]}

実行例:

また、任意の入射角による偏角の変化は、スネルの法則を使用してプリズムの公式で δ をiで表すことによって、1 つの式にまとめることができます。

$${\displaystyle \delta =i-A+\sin ^{-1}\left(n\cdot \sin \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{n}}\right)\right)\right)=f(i)(say)}$$

この式の最小値を見つけると、上記と同じ最小偏差の関係も得られます。

を置くと、 ${\displaystyle f'(i)=0}$

${\displaystyle {\frac {\cos \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\cos i}{\sqrt {\left(1-u^{2}\sin ^{2}\left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}i}{u^{2}}}\right)}}}=1}$この方程式を解くことで、プリズムの角度の特定の値に対する入射角の値と、最小の偏角が得られるプリズムの相対屈折率の値を得ることができます。方程式と説明はここに示されています。

薄いまたは小角度のプリズムでは、角度が非常に小さくなると、角度の正弦が角度自体にほぼ等しくなり、多くの有用な結果が得られます。

D _mとAは非常に小さい ので、

${\displaystyle {\begin{aligned}n&\approx {\dfrac {\frac {A+D_{m}}{2}}{\frac {A}{2}}}\\n&={\frac {A+D_{m}}{A}}\\D_{m}&=An-A\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \therefore D_{m}=A(n-1)}$$^{[1] [4]}

一般的な薄いプリズムに対して スネルの法則とプリズムの公式を用いた同様のアプローチを使用すると、偏差角度についてまったく同じ結果が得られます。

i、e、rは小さい ので、

${\displaystyle n\approx {\frac {i}{r_{1}}},n\approx {\frac {e}{r_{2}}}}$

プリズムの公式から、 ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=nr_{1}+nr_{2}-A\\&=n(r_{1}+r_{2})-A\\&=nA-A\\&=A(n-1)\end{aligned}}}$

したがって、薄いプリズムは常に偏差が最小であると言えます。

最小偏差は手動または分光計で見つけることができます。プリズムを固定したまま入射角を調整するか、光源を固定したままプリズムを回転させます。^{[6] [7]}

白色光の最小分散角は、プリズムを通過する光線の赤色光線と紫色光線間の最小偏向角の差である。^[2]

薄いプリズムの場合、紫色の光の偏差は で 、赤色の光の偏差は です。赤色の光と紫色の光の偏差の差は、プリズムによって生じる角度分散と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta _{v}}$${\displaystyle (n_{v}-1)A}$${\displaystyle \delta _{r}}$${\displaystyle (n_{r}-1)A}$${\displaystyle (\delta _{v}-\delta _{r})=(n_{v}-n_{r})A}$

虹が発生する要因の1つは、虹の角度（42°）に近い最小偏角で光線が集まることである。^{[3] [8]}

また、空気中の六角形の氷結晶のミニプリズム内で太陽光が偏向し、最小22°の偏向で光が曲がることで生じるハロやサンドッグなどの現象もこの現象によって生じます。 ^{[3] [9]}

• プリズム
• 屈折
• 幾何光学

• カーンアカデミーの最小偏差パート1とパート2
• NCERT 教科書のプリズムによる屈折
• Prism による最小偏差 2019-05-23 にWayback Machineでアーカイブ マークA ピーターソン、マウント・ホリヨーク大学