メイソンのゲイン公式

メイソンのゲイン公式 (MGF)は、線形信号フローグラフ(SFG) の伝達関数を求める方法です。この公式はサミュエル・ジェファーソン・メイソン^[1]によって導き出されたもので、この名が付けられました。MGF は、各信号にラベルを付け、その信号が他の信号にどのように依存するかを表す方程式を書き、次に入力信号に関して出力信号の複数の方程式を解くことで、伝達関数を代数的に求める方法の代替方法です。MGF は、SFG から伝達関数を取得するための段階的な方法を提供します。多くの場合、MGF は SFG を調べることで判断できます。この方法は、多くの変数やループ (内部ループを含むループを含む) を持つ SFG を簡単に処理できます。MGF は、制御システム、マイクロ波回路、デジタルフィルタなどのコンテキストでよく登場しますが、これはこれらのコンテキストが SFG で表現されることが多いためです。

ゲインの計算式は次のとおりです。

${\displaystyle G={\frac {y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta \ }}}$

${\displaystyle \Delta =1-\sum L_{i}+\sum L_{i}L_{j}-\sum L_{i}L_{j}L_{k}+\cdots +(-1)^{m}\sum \cdots +\cdots }$

どこ：

• Δ = グラフの行列式。
• y _in = 入力ノード変数
• y _out = 出力ノード変数
• G = y_入力とy_出力の間の完全なゲイン
• N = y _inとy _{out の}間の前方パスの総数
• G _k = y _inとy _out間のk番目の順方向パスのパスゲイン
• L _i = システム内の各閉ループのループゲイン
• L _i L _j = 2つの非接触ループ（共通ノードなし）のループゲインの積
• L _i L _j L _k = 3つの非接触ループのループゲインの積
• Δ _k = k^番目のフォワードパスに接触するループが削除された、k^番目のフォワードパスの Δ の補因子値。

• パス: 示された方向に横断される連続した一連の枝。
• フォワードパス: 入力ノードから出力ノードまでのパスで、どのノードも複数回アクセスされません。
• ループ: 同じノードで始まり、同じノードで終わるパス。同じノードは複数回アクセスされません。
• パス ゲイン: パス内のすべてのブランチのゲインの積。
• ループ ゲイン: ループ内のすべてのブランチのゲインの積。

1. すべての前進パスとそのゲインのリストを作成し、これらにG _{k という}ラベルを付けます。
2. すべてのループとそのゲインのリストを作成し、これらにL _i (ループの数iの場合) というラベルを付けます。すべての非接触ループのペアと、それらのゲインの積 ( L _i L _j ) のリストを作成します。すべての非接触ループのペアのリストを、一度に 3 つずつ ( L _i L _j L _k )、次に一度に 4 つずつ、というように、なくなるまで作成します。
3. 行列式 Δ と余因子 Δ _{k を}計算します。
4. 式を適用します。

V _inからV ₂への伝達関数が求められます。

前進できる道は 1 つだけです。

• V _{in から}V 1 _、 I 2 _、 そして ゲイン付きV ₂${\displaystyle G_{1}=-y_{21}R_{L}\,}$

ループは 3 つあります。

• V ₁ からI ₁からV ₁へのゲイン付き ${\displaystyle L_{1}=-R_{\text{in}}y_{11}\,}$
• V ₂からI ₂ へ、そしてゲイン付き V ₂へ${\displaystyle L_{2}=-R_{L}y_{22}\,}$
• V ₁ からI ₂へ、 V ₂へ、I ₁ へ、ゲイン付き V ₁ へ${\displaystyle L_{3}=y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2}+L_{3})+(L_{1}L_{2})\,}$ 注: L ₁とL _{2 は}互いに接触しませんが、L _{3 は}他の 2 つのループに接触します。

${\displaystyle \Delta _{1}=1\,}$ 注: 前方パスはすべてのループに触れるため、残るのは1 だけです。

${\displaystyle G={\frac {G_{1}\Delta _{1}}{\Delta }}={\frac {-y_{21}R_{L}}{1+R_{\text{in}}y_{11}+R_{L}y_{22}-y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}+R_{\text{in}}y_{11}R_{L}y_{22}}}\,}$

デジタル フィルターは、多くの場合、信号フロー グラフとして図解されます。

ループは2つあります

• ${\displaystyle L_{1}=-a_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle L_{2}=-a_{2}Z^{-2}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2})\,}$2 つのループは接触しているので、それらの積を表す項はありません。

前進する道は3つある

• ${\displaystyle G_{0}=b_{0}\,}$
• ${\displaystyle G_{1}=b_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle G_{2}=b_{2}Z^{-2}\,}$

すべての順方向パスはすべてのループに触れるので${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1\,}$

${\displaystyle G={\frac {G_{0}\Delta _{0}+G_{1}\Delta _{1}+G_{2}\Delta _{2}}{\Delta }}\,}$

${\displaystyle G={\frac {b_{0}+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}}{1+a_{1}Z^{-1}+ a_{2}Z^{-2}}}\,}$

シグナルフローグラフには 6 つのループがあります。これらは次のとおりです。

• ${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\beta }{sM}}\,}$

• ${\displaystyle L_{1}={\frac {-(R_{M}+R_{S})}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{2}=\,{\frac {-G_{M}K_{M}}{s^{2}L_{M}M}}}$

• ${\displaystyle L_{3}={\frac {-K_{C}R_{S}}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{4}={\frac {-K_{V}K_{C}K_{M}G_{T}}{s^{2}L_{M}M}}\,}$

• ${\displaystyle L_{5}={\frac {-K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{0}+L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}+L_{5})+(L_{0}L_{1}+ L_{0}L_{3})\,}$

前進する道は 1 つあります。

• ${\displaystyle g_{0}={\frac {K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

前方経路はすべてのループに触れるため、余因子${\displaystyle \Delta _{0}=1}$

そして入力から出力までのゲインは${\displaystyle {\frac {\theta _{L}}{\theta _{C}}}={\frac {g_{0}\Delta _{0}}{\Delta }}\,}$

メイソンの法則は、単純な行列形式で記述できます。 はグラフの過渡行列で、 はノードmからノードnへの分岐の合計透過率であると仮定します。すると、グラフのノードmからノードnへのゲインは に等しくなります。ここで 、${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle t_{nm}=\left[\mathbf {T} \right]_{nm}}$${\displaystyle u_{nm}=\left[\mathbf {U} \right]_{nm}}$

${\displaystyle \mathbf {U} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {T} \right)^{-1}}$、

は単位行列です。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$

メイソンの法則は、内部フィードバック ループが外部フィードバック ループ内に埋め込まれている (ネストされたループ) 離散ネットワークの z 領域伝達関数を導出するのにも特に役立ちます。離散ネットワークを信号フロー グラフとして描画できる場合は、メイソンの法則を適用することで、そのネットワークの z 領域 H(z) 伝達関数が得られます。

メイソンの法則は階乗的に増大する可能性があります。これは、有向グラフ内のパスの列挙が劇的に増大するためです。これを確認するには、すべての頂点のペア間にエッジがある、頂点上の完全な有向グラフを考えてみましょう。中間の頂点の順列ごとに、のパス形式があります。したがって、一般的なケースでは ガウス消去法の方が効率的です。${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{\text{in}}}$${\displaystyle y_{\text{out}}}$${\displaystyle (n-2)!}$

しかし、メイソンの法則は、相互接続されたシステムの伝達関数を代数的かつ組み合わせ的に特徴づけ、代数システム理論における一般的な記述やその他の計算を可能にする。ガウス消去法では多数の逆関数が発生するが、メイソンの法則はこれらを1つの準逆関数に自然に集める。一般形は

${\displaystyle {\frac {p}{1-q}},}$

上で述べたように、はサイクル積の和であり、そのそれぞれは典型的にはイデアルに該当します（例えば、厳密に因果的な演算子）。この形式の分数は有理関数体の部分環を作ります。この観察は非可換な場合にも適用されますが、^{[3]メイソンの規則自体は}リーグルの規則に置き換えられる必要があります。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle R(1+\langle L_{i}\rangle )^{-1}}$

• シグナルフローグラフ
• リーグルの法則

• Bolton, W. Newnes (1998)。制御工学ポケットブック。オックスフォード: Newnes。
• Van Valkenburg、ME (1974)。ネットワーク分析(第 3 版)。イングルウッド クリフス、NJ: Prentice-Hall。