限界モデル

統計学において、限界モデル(Heagerty & Zeger, 2000)は、階層的線型モデルとも呼ばれるマルチレベルモデリングで回帰推定値を取得する手法です。予測変数/説明変数X が応答変数Yに与える影響を知りたい場合がよくあります。このような影響の推定値を取得する 1 つの方法は、回帰分析を使用することです。

典型的なマルチレベル モデルには、レベル 1 と 2 の残差 (R 変数と U 変数) があります。2 つの変数は、応答変数 ( ) の結合分布を形成します。周辺モデルでは、レベル 1 と 2 の残差を集約し、結合分布を単変量正規分布に周辺化します(条件付き確率も参照) 。次に、周辺モデルをデータに適合させます。 ${\displaystyle Y_{ij}}$

たとえば、次の階層モデルの場合、

レベル1: 、残差は、そして${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+R_{ij}}$${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle \operatorname {var} (R_{ij})=\sigma ^{2}}$

レベル2: 、残差は、そして${\displaystyle \beta _{0j}=\gamma _{00}+U_{0j}}$${\displaystyle U_{0j}}$${\displaystyle \operatorname {var} (U_{0j})=\tau _{0}^{2}}$

したがって、限界モデルは、

${\displaystyle Y_{ij}\sim N(\gamma _{00},(\tau _{0}^{2}+\sigma ^{2}))}$

このモデルは、回帰推定値を取得するためにデータに適合させるために使用されます。

Heagerty, PJ, Zeger, SL (2000). マージナライズド・マルチレベル・モデルと尤度推論.統計科学, 15(1) , 1-26.