マニントリプル

数学において、マニン三重項 は、非退化不変対称双線型形式を持つリー代数と、ベクトル空間として および の直和となるような 2 つの等方性部分代数および から構成される。密接に関連する概念は、（古典的な）ドリンフェルト二重項 であり、これはマニン分解を許容する偶数次元リー代数である。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

マニントリプルは1987年にウラジミール・ドリンフェルドによって導入され、ユーリ・マニンにちなんで名付けられました。^[1]

2001年にデローム [fr]は、複素簡約リー代数であるマナン三重項を分類した。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

有限次元マニン三重体と有限次元リー双代数の間には カテゴリの同値性があります。

より正確には、 が有限次元マニン三重体である場合、 は、ココミュテータ写像をリー括弧の双対とすることでリー双代数にすることができます（ 上の対称双線型形式がの双対と同一視されるという事実を使用します）。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\to {\mathfrak {p}}\otimes {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\otimes {\mathfrak {q}}\to {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

逆に、がリー双代数である場合、を の双対とし、との交換子を定義しての双線型形式を不変にすることで、マニン三重項を構築できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {p}}^{*},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{*})}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {q}}}$

• が不変対称双線型形式 を持つ複素半単純リー代数であるとします。すると、を持つマニン三重体が存在し、 上のスカラー積は で与えられます。部分代数は対角要素 の空間であり、部分代数は、固定されたボレル部分代数内の要素 の空間であり、このボレル部分代数はカルタン部分代数 を含み、その逆ボレル部分代数内にあります。ここで、 と はにおいて同じ成分を持ちます。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ((w,x),(y,z))=(w,y)-(x,z)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle (x,x)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$