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特定のスポーツにおいて、マジックナンバーとは、トップを走るチームがディビジョンタイトルやプレーオフ出場権獲得にどれだけ近づいているかを示すために使用される数字です。マジックナンバーは、失格や競技からの追放、遡及的な試合没収などの非常に起こりそうにない事態が発生しないと仮定した場合、ライバルチームが残りの試合数でタイトルを獲得することが数学的に不可能となる、トップを走るチームの追加勝利数またはライバルチームの追加敗北数（またはそれらの組み合わせ）の合計を表します。
マジックナンバーが広く使用されているのは、一般的に、試合結果が勝ち負けの場合のみ順位にカウントされるスポーツに限られます。マジックナンバーは、引き分けや延長戦での敗北などの結果の場合に、チームが何らかの方法で部分的な勝利を認められるようなスポーツでは通常使用されません。マジックナンバーは「決定的数字」と呼ばれることもあります。
首位チーム以外のチームには、エリミネーション ナンバー(または「悲劇のナンバー」 ) (多くの場合、E#と略記) と呼ばれる数字があります。この数字は、首位チームの勝利数、または後続チームの敗北数を表し、これにより後続チームが敗退します。1 位以外のチームの中で最大のエリミネーション ナンバーが、首位チームにとってのマジック ナンバーとなります。
魔法数はG + 1 − W A − L Bとして計算され、ここで
- Gはシーズン中の試合総数です
- W AはチームAがシーズン中に獲得した勝利数です
- L BはチームBがシーズン中に負けた回数です
たとえば、メジャーリーグ ベースボールでは、シーズン中に 162 試合が行われます。シーズン後半の部門の順位表の上位が次のようになっているとします。
そうすると、チーム B が敗退するための魔法の数字は 162 + 1 − 96 − 62 = 5 になります。
チーム A の勝利とチーム B の敗北が合計 5 回になると、チーム B が部門タイトルを獲得することは不可能になります。
計算式中の「+1」は同点をなくすためのものです。これがないと、マジックナンバーがゼロに減少してそこに留まった場合、問題の2つのチームの記録は同じになります。将来の結果に関係なく、先頭チームがタイブレーカーに勝つことが状況によって決定された場合、追加の定数1は排除できます。たとえば、NBAは、全体的な勝敗記録に加えて、他のいくつかの価値統計を使用して、同点を破るための複雑な計算式を使用していますが、 2チーム間の最初のタイブレーカーは直接対決の記録です。先頭チームがすでにより良い直接対決の記録を獲得している場合は、+1は不要です。2022年、メジャーリーグベースボールは、タイブレーキングシナリオ（ディビジョンタイの直接対決など）を導入し、「+1」の使用は無意味になりました（ゲーム163が削除されたため）。
魔法数はW B + GR B − W A + 1として計算することもできます。ここで
- W BはチームBがシーズン中に獲得した勝利数です
- GR Bは、チームBのシーズン残り試合数です。
- W AはチームAがシーズン中に獲得した勝利数です
この 2 番目の式は基本的に次のことを意味します。チーム B が残りのすべての試合に勝つと仮定します。チーム A がチーム B の最大合計を 1 上回るには、何試合勝つ必要があるかを計算します。上記の例を使用して、同じ 162 試合のシーズンでは、チーム B には 7 試合が残っています。
チーム A が部門優勝するための魔法の数字は、依然として「5」です: 93 + 7 − 96 + 1 = 5。
チーム B は最大 100 勝できます。チーム A が 101 勝した場合、チーム B は敗退します。チーム A が勝つとマジック ナンバーは減少し、チーム B が負けた場合も最大勝利数が 1 減少するため、マジック ナンバーは減少します。
上記のバリエーションは、2つのチームの敗北の関係を見るものです。マジックナンバーは、L A + GR A − L B + 1として計算できます。
- L AはチームAがシーズン中に負けた回数です
- GR Aは、チームAのシーズン残り試合数です。
- L BはチームBがシーズン中に負けた回数です
この 3 番目の式は基本的に次のことを意味します。チーム A が残りのすべての試合に負けると仮定します。チーム B がチーム A の最大合計を 1 上回るには、何試合負ける必要があるかを計算します。上記の例を使用して、同じ 162 試合のシーズンで、チーム A には 8 試合が残っています。
チーム A が部門優勝するためのマジックナンバーは依然として「5」です: 58 + 8 − 62 + 1 = 5。ご覧のとおり、マジックナンバーは、リーダーチームの潜在的な勝利数に基づいて計算しても、後れを取っているチームの潜在的な敗北数に基づいて計算しても同じです。実際、数学的証明により、ここで提示した 3 つの式は数学的に同等であることが示されます。
チーム A は最大 66 試合負ける可能性があります。チーム B が 67 試合負けた場合、チーム B は敗退します。この場合も、マジック ナンバーはチーム A が勝つと減少し、チーム B が負けると減少します。
一部のスポーツでは、同点の場合は、関係するチーム間で追加の1 試合のプレーオフで決着がつきます。チームのマジック ナンバーが 1 になると、そのチームはディビジョンまたはワイルド カードの「同点」を確定したとみなされます。ただし、シーズン終了時に別のチームと同点となり、プレーオフに出場できるのは 1 チームだけの場合、プレーオフの追加試合によって、プレーオフで負けたチームの「確定」は取り消されます。
一部のスポーツでは、1 試合制のプレーオフではなく、タイブレーカー方式を採用しています。このような場合、マジック ナンバーを決定するには、チームの勝敗記録以外の要素も考慮する必要があります。タイブレーカー方式で優位に立っているチームは、マジック ナンバーの計算に「+1」を含める必要がないためです。たとえば、1 試合制のタイブレーカーのない 82 試合のシーズンを戦うバスケットボール リーグで、シーズン後半に部門順位が次のように表示されるとします。
さらに、リーグのタイブレーカー方式の最初のステップが直接対決の結果であると仮定します。チーム A とチーム B はシーズン中に 4 回対戦し、チーム A が 4 試合中 3 試合勝利しています。レギュラー シーズンで再び対戦する予定はありません。したがって、チーム A はチーム B に対してタイブレーカーの優位性を持っており、順位表でチーム B より上に配置されるには、チーム B と同じ数の勝利で終了する必要があるだけです。したがって、チーム A のマジック ナンバーは 82 - 60 - 20 = 2 と計算できます。チーム A が残り 7 試合のうち 2 試合に勝った場合、62 勝 20 敗で終了します。チーム B が残り 7 試合すべてに勝った場合も、62 勝 20 敗で終了します。ただし、チーム B は直接対決の結果のタイブレーカーで負けるため、チーム A が部門優勝者となります。潜在的なタイブレーカーの勝者がまだ決まっていない場合 (たとえば、チーム同士がまだ対戦する試合が残っている場合)、通常の慣例では、関係するチームのマジック ナンバーはタイブレーカーで負けるとして計算し、そのようなチームの敗退数はタイブレーカーで勝つとして計算します。
慣例により、マジックナンバーは通常、首位のチームを、そのチームがリードしているチームと比較して説明するために使用されます。ただし、同じ数式は、どのチームにも適用できます。首位タイのチームにも、後れを取っているチームにも適用できます。これらの場合、首位ではないチームは、首位のチームがいくつかの試合に負けて追いつくことを期待するため、マジックナンバーは残りの試合数よりも大きくなります。最終的に、もはや優勝争いに加わっていないチームのマジックナンバーは、残りの試合数 + 首位チームの残りの試合数よりも大きくなります。これを克服することは不可能です。
導出
マジックナンバーの式は、次のように簡単に導き出されます。前と同じように、シーズンのある時点でチーム A がW A勝、L A敗だったとします。その後の時点で、チーム A がさらにw A勝、l A敗になったと仮定し、同様にチーム B についてW B、L B、w B、l Bと定義します。チーム B が取り戻す必要のある勝利数の合計は、 ( W A + w A ) − ( W B + w B ) で求められます。この数がチーム B の残り試合数を超えるとチーム A が優勝を決めます。その時点では、チーム B はチーム A がこれ以上勝てなくてもその差を埋めることができないからです。シーズン中に合計G試合ある場合、チーム B の残り試合数はG − ( W B + w B + L B + l B ) で求められます。したがって、チーム A が勝つための条件は、( W A + w A ) − ( W B + w B ) = 1 + G − ( W B + w B + L B + l B ) です。共通項を消去すると、w A + l B = G + 1 − W A − L Bとなり、マジックナンバーの公式が成立します。
プレイしたゲーム
次の例では、チーム A のマジック ナンバーは 5 です。これは、2 位のチーム B をさらに 4 試合で倒せるとしても、3 位のチーム C を確実に倒すには 5 試合かかるためです。マジック ナンバーを計算するには、他の競合チームの中で最も少ない敗北数を使用する必要があります: 162 + 1 − 88 − 70 = 5。
タイブレーカーの奇妙な点
マジックナンバーが数学的な計算と異なる可能性があるもう 1 つのシナリオは、タイブレーカー シナリオがある場合です。ほとんどのスポーツでは、シーズン終了時に記録が同点になる事態に対処するために、いくつかのタイブレーカー方式が設定されています。通常、これらの方法の最初のものは、チームの直接対決と、シーズン中にどちらのチームが相手チームに対してより多くの試合に勝ったかというものです。
以下の例では、チーム A とチーム B はどちらも残り 12 試合で、数式によればチーム A のマジック ナンバーは 6 になります。162+1-83-74=6。
ただし、チーム A が残り 5 試合しか勝てず、シーズンを 88 勝 74 敗で終了し、チーム B が残りすべての試合に勝って同点の成績でシーズンを終了した場合、チーム A がシーズン中にチーム B に対して勝利記録を保持していれば、チーム A が部門タイトルを獲得します。つまり、以下の例では、チーム A のマジック ナンバーは実際には 5 になります。
繊細さ
スケジュールの都合上、実際にはすでに敗退しているにもかかわらず、数学的にはチームが勝つ可能性があるように見えることがあります。このメジャーリーグ ベースボールのシナリオでは、シーズンにはあと 3 試合残っています。チーム A、B、C はディビジョン チャンピオンシップのみに出場できると想定されています。他のディビジョンでより良い成績を収めたチームは、すでに 3 つの「ワイルド カード」スポットを獲得しています。
チーム C が残り 3 試合すべてに勝てば、88 勝 74 敗で終了し、チーム A とチーム B の両方が残り 3 試合に負けた場合は、87 勝 75 敗で終了し、チーム C が部門優勝者になります。ただし、チーム A とチーム B が最終週末に対戦する場合 (3 試合シリーズ)、両方のチームが残り 3 試合に負けることはあり得ません。どちらかが少なくとも 2 試合に勝ち、90 勝 72 敗または 89 勝 73 敗の記録で部門優勝を決めます。この状況のより直接的な結果は、チーム A とチーム B が同点で終了することも不可能であり、チーム C が部門優勝できないことです。
最大フロー問題のアルゴリズムを使用することで、チームが排除されたかどうかを明確に判断することができます。[1]
2 番目のワイルド カード チームの追加により、野球では逆のシナリオ (チームがまだ敗退の可能性があるように見えても、実際にはポストシーズン出場権を獲得する) が可能になります。ワイルド カードのこのシナリオでは、次のようになります。
チーム B と C が最後の 3 試合を対戦し、他のすべてのチームがディビジョン優勝を確定しているか、チーム A に追いつく可能性が数学的に排除されている場合、チーム B と C の両方がチーム A に追いつくのに十分な試合数に勝つことは不可能であるため、チーム A は少なくとも 2 番目のワイルドカード出場権を確定していることになります。
逆のシナリオは、ポストシーズン出場枠が多いスポーツではより一般的で、プレーオフ最終順位にいるが、まだ対戦しなければならないチームに追われているチームに有利になります。場合によっては、両方のシナリオが同時に発生することもあります。以下は、カンファレンス順位で 7 位から 10 位のチームに対する全米バスケットボール協会のシナリオです。
チーム B と C が最後の 2 試合のうち 1 試合を互いに対戦する必要があり、チーム A がチーム B、C、D に対してタイブレーカーを保持している場合、チーム A はチーム B と C の両方に追い抜かれることはないため、プレーオフ出場権を獲得します。また、チーム D がチーム A、B、C のいずれに対してもタイブレーカーを保持しなかった場合、チーム B と C の両方に追い抜くことはできないため、プレーオフ出場権を失います。
同様のシナリオは、昇格と降格を採用しているヨーロッパのサッカーリーグやその他の大会でも時折発生します。20 チームのサッカーリーグがダブルラウンドロビン形式でプレーし、勝利に 3 ポイント、引き分けに 1 ポイントを与え、18 位、19 位、20 位のチームを降格させるというこのシナリオでは、次のようになります。
チーム A が最後の 2 試合に負けた場合、38 ポイントで終了し、チーム D が最後の 2 試合に勝った場合、34 ポイントで終了します。ただし、ゴール差やその他のタイブレーカーに関係なく、チーム B と C が引き続き対戦する必要がある場合、チーム B と C は両方とも 38 ポイントに到達できないため、チーム A は降格しませんが、チーム B と C は両方とも 35 ポイント未満で終了できないため、チーム D は降格します。
代替方法
残りゲーム数 ( ) とリーダーに次ぐゲーム数 (GBL) の統計のみを使用する別の方法を使用して、エリミネーション数を決定することもできます。ここで、
はリーダーの残りゲーム数を意味します (同様に、はトレーラーの残りゲーム数を意味します)。
上記の例をもう一度参照してください。チーム B の脱落者数は再び「5」です。
たとえば、キャンセルや再試合が行われない引き分けなどにより、チームがシーズン全体でプレイするゲーム数が異なる場合は、この方法を使用する必要があります。このアルゴリズムも、前述の微妙な点によって制限されることに注意してください。
参照
参考文献
- ^ ジョン・クラインバーグ;タルドス、エヴァ(2005)。アルゴリズム設計。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0321295354。
外部リンク
- いくつかの同等の式の比較
- RIOT はメジャーリーグ ベースボールに適用されたオペレーション リサーチ アプローチです