ルカーチの比例和独立定理

統計学において、ルカーチの比例和独立定理は、比率、特にディリクレ分布を研究するときに使用される結果です。この定理はユージン・ルカーチにちなんで名付けられました。^[1]

Y ₁とY ₂が非退化の独立な 確率変数である場合、確率変数

${\displaystyle W=Y_{1}+Y_{2}{\text{ および }}P={\frac {Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

Y ₁とY ₂の両方が同じスケールパラメータを持つ ガンマ分布を持つ場合にのみ、独立に分布します。

Y _i ,  i  = 1, ...,  k が非退化で独立した正の確率変数であるとする。すると、 k  − 1 個の確率変数 のそれぞれは 

${\displaystyle P_{i}={\frac {Y_{i}}{\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}}}$

独立している

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}$

すべてのY _iが同じスケールパラメータを持つガンマ分布を持つ場合のみ。 ^[2] 

• Ng, WN; Tian, GL; Tang, ML (2011).ディリクレ分布と関連分布. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-68819-9。64 ページ。ルカーチの比例和独立定理とその系、および証明。