ラグランジュの定理（数論）

数論において、ラグランジュの定理は、整数の多項式が固定された素数pの倍数になる頻度について、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられた定理である。より正確には、すべての整数多項式に対して、${\displaystyle \textstyle f\in \mathbb {Z} [x]}$、 どちらか：

• fのすべての係数はpで割り切れる、または
• ${\displaystyle p\mid f(x)}${1, 2, ..., p }には最大でdeg f の解があります。

ここで、deg fはfの次数です。

これは合同類を用いて次のように表すことができます。すべての多項式について${\displaystyle \textstyle f\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$pが素数の場合、以下のいずれか：

• fのすべての係数はゼロ、または
• ${\displaystyle f(x)=0}$最大で° Fのソリューションがあります${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$。

pが素数でない場合、 deg f ( x )を超える解が存在する可能性があります。たとえば、p=8の場合、多項式f(x)=x ² −1を考えます。この場合、1、3、5、7はすべて解です。

させて${\displaystyle \textstyle f\in \mathbb {Z} [x]}$を整数多項式とし、係数をmod pで割った多項式をg ∈ ( Z / p Z )[ x ]と書く。すると、すべての整数xに対して、

${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad g(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$。

さらに、モジュラー算術の基本ルールにより、

${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad f(x{\bmod {p}})\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad g(x{\bmod {p}})\equiv 0{\pmod {p}}}$。

したがって、この定理の2つのバージョン（Z上とZ / p Z上）は同等である。f の係数がすべてゼロでない場合について、次数に関する帰納法を用いて2番目のバージョンを証明する。

deg f = 0の場合、fは根を持たず、この記述は正しい。

根を持たない場合、deg f ≥ 1であれば、この記述は自明に正しい。

それ以外の場合は、deg f ≥ 1であり、fは根を持つ。${\displaystyle k\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$Z / p Zが体であるという事実により、fと多項式x − k (次数1 )に除算アルゴリズムを適用することができ、多項式の存在が得られます。${\displaystyle \textstyle g\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$（ fの次数よりも低い次数）かつ定数${\displaystyle \textstyle r\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$（次数が1未満）

${\displaystyle f(x)=g(x)(xk)+r.}$

x = kで評価するとr = 0となる。^{[ 1 ]} fの他の根はgの根でもあるが、帰納法の性質により、その数はdeg g ≤ deg f − 1 個以下である。これで結果が証明される。

p ( X )を、次数がn >0の整数領域R上の多項式とする。このとき、多項式方程式p ( x )=0は、 R内に最大でn =deg( p ( X ))個の根を持つ。^{[ 2 ]}

• ルヴェック、ウィリアム・J. (2002) [1956].数論のトピックス、第I巻および第II巻.ニューヨーク：ドーバー出版. p. 42. ISBN  978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 . 
• タッターサル、ジェームズ・J. (2005).初等整数論（第2 版）.ケンブリッジ大学出版局. p.  198. ISBN 0-521-85014-2. Zbl 1071.11002 .