コルモゴロフの基準

確率論において、アンドレイ・コルモゴロフにちなんで名付けられたコルモゴロフの基準は、マルコフ連鎖または連続時間マルコフ連鎖がその時間反転バージョンと確率的に同一であるため の必要十分条件を与える定理です。

定理は、遷移行列 Pを持つ既約、正の再帰、非周期マルコフ連鎖が可逆的であるためには、その定常マルコフ連鎖が^{[1]を満たす必要があることを述べている。}

${\displaystyle p_{j_{1}j_{2}}p_{j_{2}j_{3}}\cdots p_{j_{n-1}j_{n}}p_{j_{n}j_{1}}=p_{j_{1}j_{n}}p_{j_{n}j_{n-1}}\cdots p_{j_{3}j_{2}}p_{j_{2}j_{1}}}$

すべての有限状態列に対して

${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}\in S.}$

ここで、p _{ij は}遷移行列Pの成分であり、S はチェーンの状態空間です。

つまり、どのサイクルに沿った連鎖乗算も前方と後方で同じです。

状態i、j、k、lと対応する遷移確率を持つマルコフ連鎖のセクションを示すこの図について考えてみましょう。ここでコルモゴロフの基準は、任意の閉ループを通過するときの確率の積が等しくなければならないことを意味しており、したがってiからj、l、k を経てiに戻るループの積は、逆のループの積と等しくなければなりません。

${\displaystyle p_{ij}p_{jl}p_{lk}p_{ki}=p_{ik}p_{kl}p_{lj}p_{ji}.}$

をマルコフ連鎖とし、その定常分布を で表します(連鎖が正の再帰的であるため、このような分布は存在します)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi}$

連鎖が可逆的である場合、関係から等式が導かれます。 ${\displaystyle p_{ji}={\frac {\pi _{i}p_{ij}}{\pi _{j}}}}$

ここで等式が満たされていると仮定します。状態とを固定します。すると ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\text{P}}(X_{n+1}=t,X_{n}=i_{n},\ldots ,X_{0}=s|X_{0}=s)}$${\displaystyle =p_{si_{1}}p_{i_{1}i_{2}}\cdots p_{i_{n}t}}$${\displaystyle ={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}p_{ti_{n}}p_{i_{n}i_{n-1}}\cdots p_{i_{1}s}}$${\displaystyle ={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}{\text{P}}(X_{n+1}}$${\displaystyle =s,X_{n}}$${\displaystyle =i_{1},\ldots ,X_{0}=t|X_{0}=t)}$。

ここで、状態の可能なすべての順序付き選択について、最後の等式の両辺を合計します。したがって、 が得られます。を最後の等式の左側に送ります。 チェーンの特性から となり、したがってチェーンが可逆的であることがわかります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$${\displaystyle p_{st}^{(n)}={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}p_{ts}^{(n)}}$${\displaystyle {\frac {p_{st}^{(n)}}{p_{ts}^{(n)}}}={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j}}$${\displaystyle {\frac {\pi _{t}}{\pi _{s}}}={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}}$

この定理は、遷移率行列Qを持つ連続時間マルコフ連鎖は、任意の不変確率ベクトルの下で、その遷移確率が^[1]を満たす場合にのみ可逆的であることを述べている。

${\displaystyle q_{j_{1}j_{2}}q_{j_{2}j_{3}}\cdots q_{j_{n-1}j_{n}}q_{j_{n}j_{1}}=q_{j_{1}j_{n}}q_{j_{n}j_{n-1}}\cdots q_{j_{3}j_{2}}q_{j_{2}j_{1}}}$

すべての有限状態列に対して

${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}\in S.}$

連続時間マルコフ連鎖の証明は、離散時間マルコフ連鎖の証明と同じように行われます。