ジョンの方程式

ジョン方程式は、関数のX 線変換が満たす超双曲偏微分方程式です。ドイツ系アメリカ人の数学者フリッツ・ジョンにちなんで名付けられました。

コンパクトな台を持つ関数が与えられた場合、X線変換は、すべての直線上の積分です。各直線上の点のペアによって直線をパラメータ化し、光線変換として定義します。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x+t(yx))dt.}$

このような関数はジョンの方程式によって特徴付けられる。 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{i}\partial x_{j}}}=0}$

これは、3次元については フリッツ・ジョンによって証明され、高次元についてはクルサによって証明されました。

3 次元 X 線コンピューター断層撮影では、ジョンの方程式を解いて、たとえば曲線 (通常はらせん) を横切る点光源からデータを取得する場合など、欠落しているデータを埋めることができます。

より一般的には、超双曲型偏微分方程式（リチャード・クーラントによる造語）は、次の形式の2階偏微分方程式である。

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum \limits _{i=1}^{2n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0}$

ここで、二次形式${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}\xi _{i}\xi _{j}}$

変数を線形変換することで、次の形式に簡約できる。

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}-\sum \limits _{i=n+1}^{2n}\xi _{i}^{2}.}$

非特性超曲面上の解の値を任意に指定することはできません。ただし、John の論文では、uの任意の指定を解に拡張できる多様体の例が示されています。

• ジョン、フリッツ (1938)、「4 つの独立変数を持つ超双曲微分方程式」、デューク数学ジャーナル、4 (2): 300–322、doi :10.1215/S0012-7094-38-00423-5、ISSN  0012-7094、MR  1546052、Zbl  0019.02404
• Á. Kurusa, ラドン変換の範囲の偏微分方程式による特徴づけ, J. Math. Anal. Appl., 161(1991), 218--226. doi :10.1016/0022-247X(91)90371-6
• SK Patch、3D CT データと波動方程式の無矛盾性条件、Phys. Med. Biol. 47 No 15 (2002 年 8 月 7 日) 2637-2650 doi :10.1088/0031-9155/47/15/306