強度（測度理論）

数学の分野である測度論では、測度の強度は、測度が長さ 1 の区間に割り当てる平均値です。

を実数上の測度とします。すると、の強度は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\overline {\mu }}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\overline {\mu }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\mu ((-s,t-s])}{t}}}$

極限が存在し、すべての に対してから独立している場合。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

ルベーグ測度 を見てください。すると、固定された に対して、 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \lambda ((-s,t-s])=(t-s)-(-s)=t,}$

それで

${\displaystyle {\overline {\lambda }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\lambda ((-s,t-s])}{t}}=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {t}{t}}=1.}$

したがって、ルベーグ測度の強度は 1 です。

強度が明確に定義されているすべての測度の集合は、上のすべての測度の集合の測定可能な部分集合である。マッピング ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle I\colon M\to \mathbb {R} }$

定義

${\displaystyle I(\mu )={\overline {\mu }}}$

測定可能です。

• カレンベルグ、オラフ（2017）。ランダム測定、理論と応用。確率理論と確率モデル。第77巻。スイス：シュプリンガー。p.173。doi ：10.1007 / 978-3-319-41598-7。ISBN 978-3-319-41596-3。