百羽問題

百羽問題は、5世紀に張秋建が書いた数学の問題集『張秋建算経』で初めて取り上げられた問題である。数学の初期の歴史における不定問題の最もよく知られた例の一つである。[ ^{1]この問題は}『張秋建算経』の最終問題（第3章の問題38）として登場する。しかし、この問題とその変種はインド、ヨーロッパ、アラブ世界の中世の数学文献にも登場している。^[2]

「百羽鳥問題」という名前は、ベルギーの歴史家ルイ・ファン・ヘーに由来する。^[3]

張秋建算経で提示された百羽問題は次のように翻訳できる。^[4]

「今、雄鶏 1 羽は 5 銭、雌鶏 1 羽は 3 銭、ひよこ 3 羽は 1 銭の価値があります。100 銭で 100 羽の鶏を購入する必要があります。それぞれの場合で、購入した雄鶏、雌鶏、ひよこの数を求めます。」

x を雄鶏の数、y を雌鶏の数、z をひよこの数とすると、問題は次の式を満たす x、y、z を見つけることです。

x + y + z = 100

5 x + 3 y + z / 3 = 100

明らかに、負でない整数値のみが許容されます。yとzをxで表すと、次のようになります。

y = 25 − (7/4) x

ｚ＝７５＋（３／４）ｘ

x、y、zはすべて整数でなければならないので、 yの式はxが4の倍数でなければならないことを示唆している。したがって、方程式系の一般解は整数パラメータtを使用して次のように表すことができる：^[5]

x = 4 t

y = 25 − 7 t

z = 75 + 3 t

yは負でない整数である必要があるため、 tの可能な値は0、1、2、3のみです。したがって、完全な解の集合は次のように与えられます。

( x , y , z ) = (0,25,75)、(4,18,78)、(8,11,81)、(12,4,84)。

最後の3つは張秋建算経で示されている。^[3] しかし、そのような問題を解くための一般的な方法は示されておらず、試行錯誤によって解決が得られたのではないかとの疑念が残る。^[1]

『張秋建算経』に出てくる百羽問題は、次の連立方程式の整数解を求める一般的な問題の特殊なケースです。

x + y + z = d

斧+斧+ cz = d

この種の問題は「百羽鳥問題」と呼ばれることもあります。^[3]

百羽問題のいくつかのバリエーションは、いくつかの文化圏の数学文献に登場しています。^{[1] [2]}以下では、これらの文化圏で議論されたいくつかのサンプル問題を紹介します。

マハヴィーラのガニータ・サラ・サングラハには次の問題が含まれています。

鳩は3羽で5羽、更紗は5羽で7羽、白鳥は7羽で9羽、孔雀は9羽で3羽（パナ）で売られています。ある男が100羽の鳥を100パナで買うように言われました。彼は買ったさまざまな種類の鳥にそれぞれいくら払ったでしょうか。

バクシャリ写本には、次の方程式を解く問題が示されています。

x + y + z = 20

3 x + (3/2) y + (1/2) z = 20

イギリスの数学者ヨーク公アルクィン（8 世紀、735 年頃 - 804 年 5 月 19 日）は、著書『Propositiones ad acuendos iuvenes』の中で、百羽鳥問題に似た 7 つの問題を述べています。以下に典型的な問題を示します。

100 ブッシェルのトウモロコシを 100 人の間で分配し、男性 1 人あたり 3 ブッシェル、女性 1 人あたり 2 ブッシェル、子供 1 人あたり 0.5 ブッシェルずつ分配するとしたら、男性、女性、子供の数はそれぞれ何人になるでしょうか。

アブー・カミル（850年 - 930年）は、次の方程式の非負整数解を考察しました。

x + y + z = 100

3 x + (/20) y + (1/3) z = 100 です。