ハバート線形化

ハバート線形化は、生産データをプロットして、ロジスティック分布に従う再生不可能な資源の近似生産率であるハバート曲線の 2 つの重要なパラメータを推定する方法です。

• ロジスティック成長率と
• 最終的に回収される資源の量。

線形化技術は、マリオン・キング・ハバートが1982年のレビュー論文で導入しました。^[1]ハバート曲線^{[2]はロジスティック関数の一次導関数であり、特に}原油の枯渇、一般的な有限鉱物資源の枯渇^[3]、および 人口増加パターンのモデル化に使用されています。 ^[4]

ハバート線形化の最初のステップは、年間生産データ ( P 、バレル/年) を累積生産量 ( Q 、バレル)の割合として縦軸にプロットし、累積生産量を横軸にプロットすることです。この表現は、ロジスティック微分方程式の線形特性を利用します。

と

• kをロジスティック成長率とし、
• 最終的に回収可能なリソースとしてのURR 。

（１）を次のように書き直すことができる。

上記の関係は、 P/Q対Q平面における直線方程式です。したがって、データ ポイントの線形回帰により、-k/URRと切片によって計算された直線の傾きの推定値が得られ、そこからハバート曲線のパラメータを導き出すことができます。

• kパラメータは垂直軸の切片です。
• URR値は水平軸の切片です。

地質学者ケネス・S・デフェイズは2005年にこの手法を用いて、同年末に石油生産量がピークを迎えると予測したが、その後、この予測は時期尚早だったことが判明した。^[5]彼は、破砕法で生産される「従来型」石油と「非従来型」石油（別名タイトオイル）を区別しなかったが、タイトオイルは石油生産のさらなる成長を続けている。しかし、2005年以降、従来型石油生産量は成長していない。^[6]

以下のグラフは、米国本土 48 州の石油生産におけるハバート線形化手法の適用例を示しています。1956 年から 2005 年までのデータ ポイント (緑色) を使用して線を当てはめると、URR は 199 Gb、ロジスティック成長率は 6% になります。

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  米国の石油生産に関するハバート線形化
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  米国の石油生産に関するハバート曲線

ノルウェーの Hubbert 線形化では、URR = 30 Gb、ロジスティック成長率 k = 17% と推定されます。

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  ノルウェーの石油生産に関するハバート線形化
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  ノルウェーの石油生産に関するハバート曲線

ハバート線形化原理は、（2）の導関数を計算することによって 生産率の1次導関数に拡張することができる^{[7] 。}

左項、つまり現在の生産量に対する生産量の変化率は、しばしば衰退率と呼ばれます。衰退曲線は、+k から始まり、URR/2 でゼロを横切り、-k で終わる線です。したがって、ハバート曲線のパラメータを次のように導出できます。

• 成長パラメータ k は垂直軸の切片です。
• URR 値は、水平軸の切片の 2 倍です。

^{この表現はロベルト・カノガール[8]}によって提案され、石油枯渇問題に適用された。これは式(2)にQを掛けたものである。

放物線は原点 (0,0) から始まり、(URR,0) を通過します。t までのデータ ポイントは、最小二乗法によって URR の推定値を求めるために使用されます。

デビッド・ラトレッジは石炭生産データの分析にロジット変換を適用したが^[9] 、石炭生産データは炭化水素の生産データよりも信号対雑音比が悪いことが多い。累積の積分特性はローパスとして機能し、ノイズの影響をフィルタリングする。生産データは、 e ( t )を0から1までの正規化された枯渇パラメータとして使用して変換後にロジスティック曲線に適合される。

URR の値は、線形化されたロジットが決定係数 を最大にして最適な適合を与えるように変化します。 ${\displaystyle R^{2}}$

• ロバート・レイピア: ハバート線形化は機能するのか?、The Oil Drum、2007-03-22
• David Rutledge: エネルギー供給と気候、Caltech、2019 - 生産履歴への曲線の適合について（過去の石炭生産に関する Excel データとロジット適合を含む）