華の正体

代数学において、華洛庸にちなんで名付けられた華恒等式^[1]は、分割環 の任意の元a、bに対して、 のときは常に となることを述べています。を に置き換えると、この恒等式の別の形式が得られます。 $${\displaystyle a-\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)^{-1}=aba}$$${\displaystyle ab\neq 0,1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle -b^{-1}}$$${\displaystyle \left(a+ab^{-1}a\right)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}$$

この恒等式は、Huaの定理^[2]の証明に使われており、これは、がを満たす分割環の間の 関数である場合 、は準同型または反準同型であるということを述べている。この定理は、射影幾何学の基本定理に関連している。 ${\displaystyle \sigma}$$${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$$${\displaystyle \sigma}$

一つは $${\displaystyle (a-aba)\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)=1-ab+ab\left(b^{-1}-a\right)\left(b^{-1}-a\right)^{-1}=1.}$$

この証明は、が単位である限り、任意の環に対して有効である。^[3]${\displaystyle a,b,ab-1}$