アダマールの補題

定義する​ ${\displaystyle x\in U.}$${\displaystyle h:[0,1]\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle h(t)=f(a+t(xa))\qquad {\text{すべてのt\in [0,1]に対して}$$

すると 、 $${\displaystyle h'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\left(x_{i}-a_{i}\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}h(1)-h(0)&=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\,dt.\end{aligned}}}$$

しかし、さらに、そうすることで 定理が証明されました。 ${\displaystyle h(1)-h(0)=f(x)-f(a),}$$${\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\,dt,}$$${\displaystyle \blacksquare}$

アダマールの補題によれば、ある関数が存在し、従って${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)=f(0)+xg(x)}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(x)/x=g(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare}$

座標に可逆な アフィン線形変換を適用することにより、一般性を失うことなく、かつ であると仮定できます。 アダマールの補題により、 が存在することに なります。任意の に対して、を意味するものとします。すると、任意の に対して、 上記 の各項 には、必要なプロパティがあります。 ${\displaystyle z=(0,\ldots ,0)}$${\displaystyle y=(0,\ldots ,0,1).}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x).}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle \alpha _{i}:=g_{i}(y)}$${\displaystyle 0=f(y)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}g_{i}(y)=g_{n}(y)}$${\displaystyle \alpha _{n}=0.}$${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}f(x)&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x)&&\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[x_{i}\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}g_{i}(x)=\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)+\alpha _{i}{\text{ and }}\alpha _{n}=0\\&=\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{n}\alpha _{i}\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\left(1-x_{n}\right)\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}x_{i}=x_{n}x_{i}+x_{i}\left(1-x_{n}\right).\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle 3n-2}$${\displaystyle \blacksquare }$