格子ローブ

素子間隔が半波長より大きい離散開口アンテナ（フェーズドアレイなど）の場合、空間エイリアシング効果により、目的の方向以外の可視角度からアレイに入射する平面波がコヒーレントに追加され、グレーティングローブが発生します。グレーティングローブは望ましくないものであり、メインローブと同一です。グレーティングローブに違いが感じられるのは、非等方性アンテナ素子の放射パターンによるもので、メインローブとグレーティングローブに異なる影響を与えます。等方性アンテナ素子の場合、メインローブとグレーティングローブは同一です。

アンテナまたはトランスデューサアレイでは、グレーティングローブは「アレイアンテナの要素間の間隔が十分に大きく、放射フィールドが複数の方向に同位相で追加される可能性がある場合に、メインローブ以外のローブ」と定義されます。^[1]

グレーティングローブの概念を説明するために、単純な一様線形アレイを使用します。任意のアレイのビームパターン（またはアレイ係数）は、ステアリングベクトルとアレイ多様体ベクトルのドット積として定義できます。一様線形アレイの場合、多様体ベクトルは です。ここで、 は任意の方向から入射する平面波によって生成される隣接要素間の位相差、は要素番号、 は要素の総数です。 項は、位相の基準点をアレイの物理的な中心に合わせるだけです。単純な幾何学から、は であることがわかります。ここで、 は平面波の入射角として定義され、 はアレイに直交する平面波（ボアサイトから）に入射します。^[2]${\displaystyle {\vec {v}}(\psi )=e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times cos\theta }$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$

均一に重み付けされた（テーパーのない）均一線形アレイの場合、ステアリングベクトルはマニフォールドベクトルと同様の形式ですが、衝突信号の実際の位相とは異なる可能性があるターゲット位相 に「ステアリング」されます。結果として得られる正規化されたアレイ係数は、位相差 の関数です。^[3]${\displaystyle \psi_{T}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi -\psi _{T}}$

${\displaystyle AF={\frac {1}{N}}{\vec {v}}^{H}(\psi _{T}){\vec {v}}(\psi )={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{T}}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }={\frac {1}{N}}e^{-j{\frac {N-1}{2}}\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}e^{jn\psi _{\Delta }}={\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{Nsin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}},-\infty <\psi _{\Delta }<\infty }$

したがってアレイ係数は周期的であり、ロピタルの法則により、分子と分母が両方ともゼロに等しいときに最大になります。したがって、 のすべての整数 に対して最大値 1 が得られます。ここでの定義に戻って、グレーティング ローブを発生させることなく、からに広がる可視領域全体にわたってアレイを電子的に操作できるようにしたいと考えています。これには、グレーティング ローブが少なくとも 離れている必要があります。 の定義から、 のときに常に最大値が発生することがわかります。最初のグレーティング ローブは で発生します。 に操作されるビームの場合、グレーティング ローブが よりも近くなることが必要です。したがって です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{\Delta }=2\ピン}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =0^{\circ}}$${\displaystyle \theta =180^{\circ}}$${\displaystyle 180^{\circ}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle 2\pi n={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \left(cos\theta -cos\theta _{T}\right)}$${\displaystyle |n|=1}$${\displaystyle \theta _{T}=180^{\circ}}$${\displaystyle \theta =0^{\circ}}$${\displaystyle d={\frac {2\pi \lambda }{2\pi \left(1+1\right)}}={\frac {\lambda }{2}}}$

あるいは、均一線形アレイ (ULA) を、信号の時間サンプリングと同じ意味での信号​​の空間サンプリングと考えることもできます。グレーティング ローブは、サンプリング不足の信号の時系列解析で発生するエイリアシングと同じです。^[4] シャノンのサンプリング定理によれば、スペクトル エイリアシングを防ぐには、サンプリング レートは目的の信号の最高周波数の少なくとも 2 倍でなければなりません。線形アレイのビーム パターン (またはアレイ係数) は要素パターンのフーリエ変換であるため、^[5]サンプリング定理が直接適用されますが、スペクトル領域ではなく空間領域で適用されます。サンプリングされた信号の離散時間フーリエ変換(DTFT) は常に周期的であり、サンプリング周波数の間隔でスペクトルの「コピー」を生成します。空間領域では、これらのコピーがグレーティング ローブです。時間領域でのラジアン周波数に相当するのは、空間領域での波数、つまりラジアン/メートルです。したがって、空間サンプリング レート (サンプル数/メートル) は である必要があります。サンプリング レートの逆数であるサンプリング間隔 (サンプル数/メートル) は である必要があります。 ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle \geq 2{\frac {サンプル}{サイクル}}\times {\frac {k{\frac {ラジアン}{メートル}}}{2\pi {\frac {ラジアン}{サイクル}}}}}$${\displaystyle \leq {\frac {\lambda }{2}}}$