グラッサーのマスター定理

積分学において、グラッサーのマスター定理は、ある広範な置換クラスが、からまでの全区間にわたって特定の積分を簡略化する方法を説明します。これは、積分がコーシー主値として解釈されなければならない場合に適用でき、積分が絶対収束する場合にも適用できます。これは、1983 年にこれを導入した M. L. グラッサーにちなんで名付けられました。^[1]${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty .}$

コーシー・シュレミルヒ置換またはコーシー・シュレミルヒ変換^[2]と呼ばれる特別なケースは、19世紀初頭にコーシーに知られていました ^{[3] 。}

${\displaystyle u=x-{\frac {1}{x}}\,}$

それから

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{注: }}F(u)\,dx,{\text{ }}F(u)\,du ではない)}$

ここでPVはコーシー主値を表します。

、、が実数であり 、${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle u=xa-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}}$

それから

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx.}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.}$

• Weisstein, Eric W.「Glasser のマスター定理」。MathWorld。