ゴーストレッグ

ゴースト レッグは、各セットの要素数が同じである限り、任意の数の 2 セットのアイテムをランダムに組み合わせるように設計された抽選方法です。これは、配布されるアイテムの数が人数と同じ場合に、人々にアイテムを配布するためによく使用されます。たとえば、この方法では、雑用や賞品を公平かつランダムに割り当てることができます。

日本語では「あみだくじ」（阿弥陀籤）、^{[注 1]} 、韓国語では「はしご登り」（사다리타기、文字通り「はしご登り」）、中国語では「鬼腳圖」（中国語：鬼腳圖、文字通り「幽霊の足図」）として知られています。

この図は、縦線と、その長さに沿ってランダムに散らばった 2 本の隣接する縦線を繋ぐ横線で構成されています。横線は「脚」と呼ばれます。縦線の数はプレイする人数と同じで、各線の下部にはアイテム (プレイヤーとペアになるもの) があります。このゲームの一般的なルールは、上部の線を選択し、この線を下に向かって進むことです。横線に遭遇したら、それをたどって別の縦線に進み、下に向かって進みます。縦線の終わりに達するまでこの手順を繰り返します。その後、プレイヤーには線の下部に書かれたものが与えられます。

ゴーストレッグの上に書かれた要素をシーケンスとして扱い、ゴーストレッグが使用された後に同じ要素が下部に書かれると、開始シーケンスは別の順列に変換されます。したがって、ゴーストレッグは一種の順列演算子と見なすことができます。

たとえば、演劇で俳優に役割を割り当てることを考えてみましょう。

1. まず、2 つのセットをボード上に水平に列挙します。俳優の名前を上に、役割を下に書きます。次に、各俳優とそのすぐ下の役柄を結ぶ垂直線を引きます。
2. どの俳優がどの列にあるのか、どの役がどの列にあるのかが分からないように、俳優や役の名前は隠されます。
3. 次に、各俳優はボードに足を追加します。各足は 2 つの隣接する垂直線に接続し、他の水平線に触れないようにする必要があります。
4. これが完了すると、各垂直線の上部から下部までパスがトレースされます。線をたどっていくと、左または右の脚に出会った場合、その脚を、それが接続する隣接する垂直線までたどる必要があります。その後、トレースが再開され、垂直線の下部に到達するまで続けられます。パスの開始点である上部の項目は、終了点である下部の項目とペアになります。

もう 1 つのプロセスでは、はしごをあらかじめ作成し、それを隠します。次に、人々は順番に上から開始するパスを選択します。あみだくじのどの部分も隠されていない場合は、特定のペアが保証されるようにシステムを修正して、ランダムな偶然の考えを無効にすることができます。

このゲームの魅力の 1 つは、じゃんけんなどのランダムなチャンスのゲームとは異なり、あみだくじでは常に 1:1 の対応関係が作成され、任意の数の組み合わせを処理できることです。上部の 2 つのアイテムが下部のアイテムと同じ対応関係になることはなく、下部のアイテムが上部のアイテムに対応関係を持たないこともないことが保証されています。

また、水平線を何本追加しても機能します。各人が 1 本、2 本、3 本、または任意の数の線を追加しても、1:1 の対応は維持されます。

これがどのように機能するかを理解する 1 つの方法は、カップに入ったコインの例えを考えることです。n 個のカップには n 個のコインが入っており、これはあみだくじの底にあるアイテムを表しています。次に、追加される各脚は、隣接する 2 つのカップの位置の交換を表します。したがって、最終的にはn 個のカップが存在し、交換が何回実行されても、各カップには 1 枚のコインが入っています。

ゴーストレッグは、入力シーケンスを、同じ数の要素を持ち、順序が異なる出力シーケンスに変換します（順序が異なる場合もあります）。したがって、これはn個のシンボルの順列と見なすことができます（nはゴーストレッグ内の垂直線の数です）。^{[2]したがって、対応する}順列行列で表すことができます。

ゴースト レッグを入力シーケンスに有限回数適用すると、最終的に元の入力シーケンスと同一の出力シーケンスが生成されます。

つまり、M が特定のゴーストレッグを表す行列である場合、有限のnに対してM ⁿ = I となります。

行列表現Mを持つ任意のゴーストレッグに対して、表現M ⁻¹を持つゴーストレッグが存在し、 M M ⁻¹ = Iとなる。

各レッグはその端にある 2 つの隣接する要素を交換するため、レッグの数はゴースト レッグの奇数/偶数順列プロパティを示します。レッグの数が奇数の場合は奇数順列を表し、レッグの数が偶数の場合は偶数順列を表します。

すべての順列をゴースト レッグとして表現することは可能ですが、表現は 1 対 1 ではありません。つまり、特定の順列は一意のゴースト レッグに対応しません。無限の数のゴースト レッグは同じ順列を表します。

特定の順列を表すゴーストレッグは無限に存在するため、それらのゴーストレッグは一種の同値性を持ちます。それらの同値なゴーストレッグのうち、レッグの数が最も少ないものを「素数」と呼びます。

ゴースト レッグは任意に構築できますが、そのようなゴースト レッグは必ずしも素数ではありません。バブル ソートによって構築されたゴースト レッグだけがレッグ数が最も少なく、したがって素数であることが証明されています。これは、バブル ソートがシーケンスをソートするために最小数の隣接交換を実行するということと同じです。

n個の要素を持つ順列の場合、隣接要素の交換の最大数は =${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$

同様に、n本のトラックを持つ素数の最大脚数 =${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$

任意のゴーストレッグに対して、「バブリゼーション」と呼ばれる手順で素数に変換することができます。バブリゼーションが動作すると、次の 2 つの恒等式が繰り返し適用され、「役に立たない」レッグが移動して削除されます。

1. ⇒
2. ⇒

2 つの恒等式をこれ以上適用できない場合、ゴースト レッグはバブル ソートによって構築されたゴースト レッグとまったく同じであることが証明されるため、バブル化によってゴースト レッグを素数に減らすことができます。

前述のように、脚の数が奇数の場合は奇順列が生成され、脚の数が偶数の場合は偶順列が生成されるため、特定の脚の数は、最大で合計可能な順列の半分を生成することができます (脚の数がトラックの数に比べて少ない場合は半分未満ですが、脚の数が特定の臨界数を超えると半分になります)。

レグがランダムに抽選される場合 (「ランダムに抽選される」の妥当な定義の場合)、順列の分布の均一性はレグの数とともに増加します。レグの数がトラックの数に比べて少ない場合、達成可能な異なる順列の確率は大きく異なる可能性があります。レグの数が多い場合、達成可能な異なる順列の確率は均等に近づきます。

1981年にコナミがプログラムし、シュテルンが発売したアーケードゲーム「アミダー」では、迷路として同じ格子が使われています。このゲームの名前は「あみだくじ」に由来しており、敵の動きの大半はゲームのルールに従っています。

初期のマスター システムゲーム「Psycho Fox」では、画面上部の賞品獲得のチャンスにコインの袋を賭ける手段として、あみだくじボードの仕組みが使用されています。同じゲーム コンセプトに基づく後のセガ ジェネシスゲーム「DecapAttack」とその日本の前身である「マジカル ハットのぶっとびたぼ! 大冒険」は、あみだくじボーナス レベルを含め、同じゲーム メカニズムに従っています。

1990 年にファミコンで発売された『悪魔城スペシャル 僕ドラキュラくん』（2019 年にCastlevania Anniversary Collectionの一部として『悪魔城ドラキュラくん』としてローカライズ）では、ステージ終了後に 4 つのボーナス ゲームから 1 つを選ぶ手段として、この幽霊の足くじが使用されています。A、B、C、または D の道を選ぶ前に、マイクを持った男性が「あみだくじ! あみだくじ!」と叫びます。

『スーパーマリオランド2 6つの金のコイン』には、プレイヤーにパワーアップの報酬を与えるあみだくじスタイルのボーナスゲームがあります。 『New スーパーマリオブラザーズ』、『スーパーマリオ64 DS』、『ワリオ 変装の達人』には、あみだくじスタイルのミニゲームがあり、プレイヤーはスタイラスペンを使用して、ボードを滑り降りるときにプレイヤーキャラクターを勝利の道に導く新しい線を追加します。

ロックマンXでは、ボススパイダーは、最初のシグマの要塞ステージで、 あみだくじに似たウェブ状のレールを降りて 攻撃します。

ポケットモンスター ハートゴールド・ソウルシルバーのツツジジムは、あみだくじをベースにしたカートを渡るシステムで再設計されました。正しい選択をするとジムリーダーのところへ行けますが、間違った選択をすると他のトレーナーと戦うことになります。

ファンタシースターオンライン2は、ランダムに現れる爆弾解除ミニゲームにあみだくじの原理を採用しています。爆弾の周りをあみだくじでなぞって、どのボタンで解除するかを判断しなければなりません。選択を誤ると、プレイヤーは数秒間ゲームから外れ、時間を無駄にします。

日本のドラマ「ドン・キホーテ」（第10話）では、登場人物のシロタ（松田翔太）が、養子縁組の候補家族を決めるために あみだくじを使います。

Raging Loopでは、「ゴーストレッグ抽選」は、ゲームのストーリーの中心となる儀式のために村中の役割を選択することのアナロジーとして説明されています。

ウィキメディア・コモンズには、ゴーストレッグに関連するメディアがあります。

• https://web.archive.org/web/20091023070628/http://geocities.com/Athens/Acropolis/7247/amidakuji.html
• はしご：デイビッド・センフトによる研究論文（PDF）
• Man - Kit Ho、Hoi-Kwan Lau、Ting-Fai Man、Shek Yeung (2012)。「Ghost Leg」、Hang Lung Mathematics Awards Collection of Winning Papers、2004。International Press。ISBN 978-1-57146-254-1。