対称レベルインデックス演算

数値のレベルインデックス（LI）表現と算術演算のアルゴリズムは、 1984年にチャールズ・クレンショーとフランク・オルバーによって導入されました。^{[ 1 ]}

LIシステムの対称形式とその算術演算は、1987年にクレンショーとピーター・ターナーによって発表された。^{[ 2 ]}

マイケル・アヌタ、ダニエル・ロジエ、ニコラ・シャバネル、そしてターナーは、対称レベルインデックス（SLI ）演算のアルゴリズムと、その並列実装を開発した。SLI演算アルゴリズムの開発と、それを複素数演算やベクトル演算に拡張する研究は、その後も精力的に続けられている。

レベルインデックスシステムの考え方は、非負の実数X を次のように表現することです。

${\displaystyle X=e^{e^{e^{\cdots ^{e^{f}}}}},}$

どこ${\displaystyle 0\leq f<1}$、そして指数化のプロセスはℓ回実行され、${\displaystyle \ell \geq 0}$ℓとfはそれぞれ Xのレベルとインデックスです。x = ℓ + fはXのLIイメージです。例えば、

${\displaystyle X=1234567=e^{e^{e^{0.9711308}}},}$

そのため、そのLIイメージは

${\displaystyle x=\ell +f=3+0.9711308=3.9711308.}$

対称形式は、X の絶対値が1未満の場合、負の指数を許容するために使用されます。sgn (log( X ))またはsgn( | X |  − | X | ⁻¹ ) を取得し、(逆数の符号に 0 の代わりに +1 を代入した後。X = 1 = e ^0の場合、     LI イメージはx  =  1.0であり、 X = 1を一意に定義するため、3 番目の状態をなくし、2 つの状態 −1 と +1 に 1 ビットのみを使用できます) を逆数の符号r _Xとして格納します。数学的には、これは小さな絶対値の逆数(乗法逆数)を取得し、その逆数の SLI イメージを見つけることに相当します。逆数の符号に 1 ビットを使用することで、非常に小さな数を表現することができます。

符号ビットは負の数を表現するためにも使用できます。sgn ( X )を取得し、(符号として 0 の代わりに +1 を代入した後) それを符号 sX として格納します。X = 0 の場合、LIイメージはx = 0.0 であり、 X = 0を一意に定義するため、3 番目の状態を省略して、−1 と +1 の 2 つの状態に 1 ビットだけを使用できます_。数学的には、これは負の数の逆数 (加法逆数) を取得し、その逆数の SLI イメージを見つけることに相当します。符号に 1 ビットを使用することで、負の数を表現できます。      

この写像関数は一般化対数関数と呼ばれ、次のように定義されます。

${\displaystyle \psi (X)={\begin{cases}X&{\text{if }}0\leq X<1,\\1+\psi (\ln X)&{\text{if }}X\geq 1,\end{cases}}}$

そしてそれはマッピングします${\displaystyle [0,\infty )}$は単調に自身に収束するため、この区間では可逆である。その逆関数である一般化指数関数は、次のように定義される。

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x&{\text{if }}0\leq x<1,\\e^{\varphi (x-1)}&{\text{if }}x\geq 1.\end{cases}}}$

xで表される値Xの密度は、レベルℓからℓ + 1に移行しても不連続性を持たない（非常に望ましい性質）ため、  

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (x)}{dx}}\right|_{x=1}=\left.{\frac {d\varphi (e^{x})}{dx}}\right|_{x=0}.}$

一般化対数関数は、コンピュータサイエンスにおけるアルゴリズム解析で用いられる反復対数関数と密接に関連している。

形式的には、任意の実数X（0または1以外）のSLI表現を次のように定義できます。

${\displaystyle X=s_{X}\varphi (x)^{r_{X}},}$

ここで、s _XはXの符号 (加法反転かどうか) 、r _Xは逆符号 (乗法反転かどうか) であり、以下の式で表されます。

${\displaystyle s_{X}=\operatorname {sgn}(X),\quad r_{X}=\operatorname {sgn} {\big (}|X|-|X|^{-1}{\big )},\quad x=\psi {\big (}\max {\big (}|X|,|X|^{-1}{\big )}{\big )}=\psi {\big (}|X|^{r_{X}}{\big )},}$

一方、X = 0 または 1 の場合は、

${\displaystyle s_{0}=+1,\quad r_{0}=+1,\quad x=0.0,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,\quad r_{1}=+1,\quad x=1.0.}$

例えば、

${\displaystyle X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{-e^{e^{0.9711308}}},}$

そしてそのSLI表現は

${\displaystyle x=-\varphi (3.9711308)^{-1}.}$

• テトラション
• 浮動小数点（FP）
• テーパー浮動小数点（TFP）
• 対数数体系（LNS）
• レベル（対数量）

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). "レベルインデックス演算：入門的概説". Numerical Analysis and Parallel Processing (会議録 / 1987年ランカスター数値解析サマースクール). Lecture Notes in Mathematics (LNM). 1397 : 95–168 . doi : 10.1007/BFb0085718 . ISBN 978-3-540-51645-3。
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. "レベルインデックス演算を用いた平方根の計算". Computing . 43 (2). Springer-Verlag : 171– 185. doi : 10.1007/BF02241860 . ISSN 0010-485X . 
• ゼヘンドナー、エバーハルト（2008年夏）。「Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme」（PDF）（講義台本）（ドイツ語）。フリードリヒ シラー大学イエナ校。 pp. 21–22。2018年 7 月9日にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。2018-07-09に取得。 
• ヘイズ、ブライアン（2009年9月～10月）。「高等算術」。アメリカン・サイエンティスト。97 （5）：364～ 368。doi ：10.1511/2009.80.364。 2018年7月9日にオリジナルからアーカイブ。 2018年7月9日に取得。また、以下の書籍にも再録されています：Hayes, Brian (2017). "第8章：高等算術". Foolproof, and Other Mathematical Meditations (第1版). The MIT Press . pp. 113–126 . ISBN   978-0-26203686-3ISBN​ 0-26203686-X。

• sli-c-library (Google Code でホストされています)、「対称レベルインデックス算術の C++ 実装」。