確率論 において、ガウスの不等式 （またはガウスの不等式）は、 単峰性 確率変数が 最頻値 から任意の距離以上離れている確率の上限を与える。
X をモード m を持つ単峰性確率変数とし、τ 2 を( X − m ) 2 の期待値 とする。( τ 2 は( μ − m ) 2 + σ 2 とも表すことができ、ここでμ σ はX の平均と標準偏差 である。) すると、任意の正の値k に対して、
教授 （ | X − m | > k ） ≤ { （ 2 τ 3 k ） 2 もし k ≥ 2 τ 3 1 − k τ 3 もし 0 ≤ k ≤ 2 τ 3 。 {\displaystyle \Pr(|Xm|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}} この定理は、 1823年にカール・フリードリヒ・ガウス によって初めて証明された。
高次モーメントへの拡張 ウィンクラーは1866年にガウスの不等式をr 次 モーメントに拡張した[ 1 ]。 r > 0で、分布はモードがゼロの単峰性である。これはキャンプ・メイデルの不等式と呼ばれることもある[ 2 ] [ 3 ] 。
P （ | X | ≥ k ） ≤ （ r r + 1 ） r E （ | X | ） r k r もし k r ≥ r r （ r + 1 ） r + 1 E （ | X | r ） 、 {\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left({\frac {r}{r+1}}\right)^{r}{\frac {\operatorname {E} (|X|)^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{if}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}),} P （ | X | ≥ k ） ≤ （ 1 − [ k r （ r + 1 ） E （ | X | ） r ] 1 / r ） もし k r ≤ r r （ r + 1 ） r + 1 E （ | X | r ） 。 {\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\operatorname {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{if}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}).} ガウスの境界はその後、ヴィソチャンスキー・ペトゥニン不等式 により、最頻値ではなく平均値からのずれに適用できるように改良され拡張された。後者はダルマディカリとジョアグ・デヴによって拡張された[ 4 ]。
P （ | X | > k ） ≤ 最大 （ [ r （ r + 1 ） k ] r E | X r | 、 s （ s − 1 ） k r E | X r | − 1 s − 1 ） {\displaystyle P(|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}E|X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)} ここで、sは s > r + 1 およびs ( s − r − 1) = r r r > 0の両方を満たす定数です。
これらの不等式は可能な限り最良のものであり、境界をさらに厳密にするには、分布に追加の制約を課す必要があることが示される。
参考文献 ↑ ウィンクラー A. (1886) 数学-自然理論 Kl。アカド。ウィス ウィーン ツヴァイテ アプト 53、6–41 ↑プケルスハイム、フリードリヒ（1994 年5 月 ）。「スリーシグマルール」。アメリカ統計学者 。48 （2）：88–91。doi ：10.1080 /00031305.1994.10476030。ISSN 0003-1305 。 ↑ Bickel, Peter J. ; Krieger, Abba M. (1992). "Extensions of Chebyshev's Inequality with Applications" (PDF) . Probability and Mathematical Statistics . 13 (2): 293– 310. ISSN 0208-4147 . 2012年 10月6日 取得 . ↑ ダルマディカリ、サウスウェールズ州。 Joag-Dev、K. (1985)。 「単峰分布のガウス-チェビシェフ不等式」 (PDF) 。 テオリヤ・ヴェロヤトノステイ、イー・プリメーネニヤ 。 30 (4): 817–820 . ガウス、CF (1823)。 「Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior」。Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores 。５ ．アプトン、グラハム、クック、イアン（2008）。「ガウスの不等式」。統計学辞典 。オックスフォード大学出版局。 Sellke, TM; Sellke, SH (1997). 「単峰分布に対するチェビシェフの不等式」。American Statistician 51 (1). American Statistical Association: 34–40 . doi : 10.2307/2684690 . JSTOR 2684690 . Pukelsheim, F. (1994). 「スリーシグマルール」。American Statistician . 48 (2). American Statistical Association: 88–91 . doi : 10.2307/2684253 . JSTOR 2684253 . 
![{\displaystyle \Pr(|Xm|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6df9a5078d90364998b92280d5b7267b613d57)
![{\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\operatorname {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{if}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d19da25b42af905e03b62ee3c1bea872df3da5)
![{\displaystyle P(|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}E|X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64576e6661122587ac6ae6a11d88c663e5f441a3)