フックス関係

数学において、フックス関係は、特定の線型微分方程式、いわゆるフックス方程式の形式級数解の開始指数間の関係である。これはラザロ・イマヌエル・フックスにちなんで名付けられている。

無限遠点を含むすべての特異点が正則特異点である線型微分方程式は、フックス方程式またはフックス型方程式と呼ばれます。^{[1]フックス方程式の場合、}フックス理論により、どの点でも形式的な基本システムが存在しています。

線形微分方程式の複素平面の有限部分における正規特異点をとする。${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{r}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Lf:={\frac {d^{n}f}{dz^{n}}}+q_{1}{\frac {d^{n-1}f}{dz^{n-1}}}+\cdots +q_{n-1}{\frac {df}{dz}}+q_{n}f}$

有理型関数 を持つ。線型微分方程式の場合、特異点は係数の特異点そのものである。係数が次の形式の 有理関数である場合に限り、フックス方程式となる。${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle Lf=0}$

${\displaystyle q_{i}(z)={\frac {Q_{i}(z)}{\psi ^{i}}}}$

多項式とに対する特定の多項式を用いて、 となる。^[2]これは、 に対して、係数が最大で の位数の極を持つことを意味する。 ${\textstyle \psi :=\prod _{j=0}^{r}(z-a_{j})\in \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle Q_{i}\in \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \deg(Q_{i})\leq i(r-1)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

を、特異点と無限大点を持つ の Fuchs 方程式とします。をに対する指数多項式の根とします( の場合) 。をに対する指数多項式の根とします(における の指数多項式を で変換したもので与えられます)。このとき、いわゆるFuchs 関係が成り立ちます。 ${\displaystyle Lf=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{r}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,r\}}$${\displaystyle \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle Lf}$${\displaystyle z=x^{-1}}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\sum _{k=1}^{n}\alpha _{ik}+\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}={\frac {n(n-1)(r-1)}{2}}}$^[3 ]

フックス関係は無限和として書き直すことができる。フックス方程式の相対的な指標多項式を と表す。次のように 定義する。${\displaystyle P_{\xi }}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle Lf=0}$${\displaystyle \operatorname {defect} :\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {defect} (\xi ):={\begin{cases}\operatorname {Tr} (P_{\xi })-{\frac {n(n-1)}{2}}{\text{, for }}\xi \in \mathbb {C} \\\operatorname {Tr} (P_{\xi })+{\frac {n(n-1)}{2}}{\text{, for }}\xi =\infty \end{cases}}}$

ここで、 は多項式の跡を与えます。つまり、は重複度で数えられた多項式の根の合計を表します。 ${\textstyle \operatorname {Tr} (P):=\sum _{\{z\in \mathbb {C} :P(z)=0\}}z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

これは、任意の通常の点 に対して、任意の通常の点 に対する指示多項式が であるという事実により、 が成り立つことを意味します。に対する指示方程式を取得するために使用される変換により、に対するの定義で符号が変更されます。書き直されたフックスの関係式は次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {defect} (\xi )=0}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle P_{\xi }(\alpha )=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}$${\displaystyle z=x^{-1}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \operatorname {defect} }$${\displaystyle \xi =\infty }$

${\displaystyle \sum _{\xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}\operatorname {defect} (\xi )=0.}$^[4]

• インス、エドワード・リンゼイ（1956年）。『常微分方程式』。ニューヨーク、アメリカ合衆国：ドーバー出版。ISBN 9780486158211。
• テネンバウム、モリス、ポラード、ハリー（1963）。常微分方程式。ニューヨーク、米国：ドーバー出版。pp. 講義40。ISBN 9780486649405。
• ヤコブのホルン（1905年）。Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung。ライプツィヒ、ドイツ: GJ Göschensche Verlagshandlung。
• シュレジンガー、ルートヴィヒ (1897)。Differentialgleichungen (2. バンド、1. テイル) の理論を扱います。ライプツィヒ、ドイツ: BGTeubner。 241ページ以降