拡大同相写像

数学において、膨張性の概念は、反復関数の作用によって点が互いに離れていくという概念を形式化したものです。膨張性の考え方は、以下の正の膨張性の定義やシュワルツ・アールフォース・ピックの定理が示すように、かなり厳密です。

が距離空間である場合、同相写像は定数が存在するとき 拡大的であると言われる。${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}>0,}$

膨張定数と呼ばれるもので、内の点のペアごとに次の整数が存在する。 ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}.}$

この定義では、 は正または負になる可能性があり、したがって前方または後方方向に拡張される可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$

空間 はコンパクトであると仮定されることが多い。なぜなら、その仮定の下では拡張性は位相的な性質だからである。つまり、が と同じ位相を生成する他の任意の計量である場合、 がにおいて拡張的である場合、 はにおいて拡張的である（拡張性定数は異なる可能性がある）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,d')}$

もし

${\displaystyle f\colon X\to X}$

が連続 写像である場合、${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varepsilon_{0}}$

となるような、内の任意の に対して、となるような が 存在する。 ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}}$

コンパクト距離空間の拡大同相写像f が与えられたとき、一様拡大定理は、任意の と に対して が存在し、となるの各点のペアに対して となり、 となるが存在することを述べている。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle N>0}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,y)>\epsilon }$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \vert n\vert \leq N}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))>c-\delta ,}$

ここで、は膨張定数です(証明)。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

正の拡張性は拡張性よりもはるかに強い。実際、がコンパクトで が正の拡張同相写像である場合、 は有限であることが証明できる (証明)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

• scholarpedia の拡張力学システム

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