ユークリッドランダム行列

数学では、N × N ユークリッドランダム行列Â は、任意の決定論的関数f ( r、r ′) と、d次元ユークリッド空間の領域Vにランダムに分布するN個の点 { r _i } の助けを借りて定義されます。行列の要素 A _ijはf ( r _i、r _j ) に等しくなります: A _ij = f ( r _i、r _j )。

ユークリッドランダム行列は1999年に初めて導入された。^[1]彼らは、点のペア間の距離のみに依存する関数fの特殊なケースを研究した： f ( r , r ′) = f ( r - r ′)そして対角要素A _iiに追加の条件を課した。

A _ij = f ( r _i - r _j ) - u δ _ij Σ _k f ( r _i - r _k )、

彼らが行列を研究した物理的な文脈によって動機づけられた。ユークリッド距離行列は、 f ( r _i - r _j ) = | r _i - r _j | ²またはf ( r _i - r _j ) = | r _i - r _j |のいずれかのユークリッドランダム行列の特定の例である。^[2]

例えば、多くの生物学的ネットワークでは、2つのノード間の相互作用の強さは、それらのノードの物理的な近さに依存します。ノードが空間内にランダムに配置されている場合、ノード間の空間相互作用はユークリッドランダム行列としてモデル化できます。^{[3] [4]}

点 { r _i } の位置はランダムなので、行列要素 A _ijもランダムです。さらに、N × N要素はN個の点のみによって完全に決定され、通常はN ≫ dに関心があるため、異なる要素間には強い相関関係が存在します。

エルミートユークリッドランダム行列は、過冷却液体^[5] 、無秩序系におけるフォノン^[6]、ランダム媒体における波^{[7]など、さまざまな物理的コンテキストに現れます。}

例 1:関数f ( r , r ′) = sin( k ₀ | r - r ′|)/( k ₀ | r - r ′|)（k ₀ = 2π/λ _0）によって生成される行列 Â を考えます。この行列はエルミート行列であり、その固有値Λ は実数です。辺がLで体積がV = L ³の立方体にランダムに分布するN個の点について、点の密度 ρ = N / Vが ρλ ₀ ³ ≤ 1 および 2.8 N /( k ₀ L ) ^{2 < 1}に従う場合、 Λ の確率分布はMarchenko-Pastur の法則によって近似的に与えられることが示されます[7]（図を参照）。

大きな（N ≫1）非エルミートユークリッドランダム行列の固有値密度の理論が開発され^{[8] 、}ランダムレーザーの問題の研究に応用されてきた。^[9]

例2:関数f ( r , r ′)=exp( ik0 | r - r ′|)/( k0 | r - r′ _| )（k0=2π/λ0、f(r=r′)=0）によって生成される_行列Â_を考えます。この行列は_{エルミート}行列ではなく、その固有値Λは複素数です。Λの確率分布は、点ρ= N / Vの密度がρλ03≤1および9N/(8k0R)2<1に従う場合、_解析的に求めることが^できます^[ ₈ ] ^（図を参照）。