エアハートの体積予想

数の幾何学において、エアハルトの体積予想は、内部に格子点を1 つだけ含む凸体の体積の上限を与える。これは、中心対称の凸体K は体積が を超えるとすぐに格子点を含まなければならないことを保証するミンコフスキーの定理の逆の一種である。この予想は、内部に重心として格子点を 1 つだけ含む凸体K は、 より大きい体積を持つことができないと述べている。 ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle (n+1)^{n}/n!}$

${\displaystyle \operatorname {Vol} (K)\leq {\frac {(n+1)^{n}}{n!}}.}$

この不等式は、 がユークリッドn次元空間の標準単体のコピーであり、その辺が 倍に拡大されている場合に等式が達成されます。同様に、はベクトル の凸包と合同であり、すべての に対して となります。このように表すと、原点は凸体K の内部にある唯一の格子点です。 ${\displaystyle K=(n+1)\Delta _{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle K=(n+1)\Delta _{n}}$${\displaystyle -\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle (n+1)\mathbf {e} _{j}-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

さらに、この予想は、 K がにユニモジュラ同値である場合にのみ、上記の不等式で等式が達成されると主張しています。 ${\displaystyle (n+1)\Delta _{n}}$

エアハートは、次元 2 および単体の場合にこの予想を証明しました。

• ベンジャミン・ニル、アンドレアス・パッフェンホルツ (2014)、「エアハルトの体積予想における等式ケースについて」、Advances in Geometry、14 (4): 579–586、arXiv : 1205.1270、doi :10.1515/advgeom-2014-0001、ISSN  1615-7168、S2CID  119125713。