ディンキン指数

数学において、コンパクトな単純リー代数の有限次元最高重み表現のディンキン指数は 、それらのトレース形式を次のように関連付けます。 ${\displaystyle I({\lambda })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{Tr}}_{V_{\lambda }}}{{\text{Tr}}_{V_{\mu }}}}={\frac {I(\lambda )}{I(\mu )}}.}$$

が最高根である特別なケースでは、つまり が随伴表現である場合、Dynkin 指数は双対 Coxeter 数に等しくなります。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle V_{\lambda}}$${\displaystyle I(\lambda )}$

表記は表現 上のトレース形式です。シューアの補題により、トレース形式はすべて不変形式であるため、定数で関連付けられ、インデックスは明確に定義されます。 ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}}$${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$

トレース形式は双線型形式なので、トレースをとって^{[引用が必要]}を得ることができる。

${\displaystyle I(\lambda )={\frac {\dim V_{\lambda }}{2\dim {\mathfrak {g}}}}(\lambda ,\lambda +2\rho )}$

ここでワイルベクトル

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

は、のすべての正の根の合計の半分に等しい。 この式は、表現 における2 次カシミール値です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (\lambda ,\lambda +2\rho )}$${\displaystyle V_{\lambda}}$

• 殺害形態

• Philippe Di Francesco、Pierre Mathieu、David Sénéchal、共形場の理論、1997 Springer-Verlag New York、ISBN  0-387-94785-X