ダドリーの定理

確率論において、ダドリーの定理は、ガウス過程の期待される 上限と規則性の特性をそのエントロピーと共分散構造に関連付ける結果です。

この結果は、リチャード・M・ダドリーの論文で指摘されているように、VN・スダコフによって初めて述べられ、証明されました。^[1]ダドリーは以前、エントロピーと規則性の関係を明らかにしたのは フォルカー・シュトラッセンだと評価していました。

( X _t ) _{t ∈ T を}ガウス過程とし、d _{X を}T上の擬距離として定義される ものとする。

${\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}$

ε > 0の場合 、エントロピー数N ( T ,  d _X ;  ε ) 、つまりT を覆うために必要な半径εの（開いた） d _X球の最小数をN ( T , d X ; ε ) で表します。すると、

${\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}$

さらに、右辺のエントロピー積分が収束する場合、Xには、_{ほぼすべてのサンプルパスが有界で、(T、dX} )上で (一様に)連続するバージョンが存在します。

• ダドリー、リチャード M. ( 1967)。「ヒルベルト空間のコンパクト部分集合のサイズとガウス過程の連続性」。関数解析ジャーナル。1 (3): 290–330。doi :10.1016/0022-1236(67)90017-1。MR  0220340。
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991).バナッハ空間における確率. ベルリン: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR  1102015.（第11章参照）