ダウリング幾何学

組合せ 数学において、トーマス・A・ダウリングにちなんで名付けられたダウリング幾何学は、群に関連付けられたマトロイドです。各群には、各ランクのダウリング幾何学が存在します。ランクが少なくとも 3 の場合、ダウリング幾何学は群を一意に決定します。ダウリング幾何学は、マトロイド理論において普遍的対象としての役割を果たします (Kahn and Kung、1982)。その点で、ダウリング幾何学は射影幾何学に類似していますが、体ではなく群に基づいています。

ダウリング格子は、ダウリング幾何学に関連付けられた平面の幾何学格子です。格子と幾何学は数学的に同等です。どちらか一方がわかれば、もう一方が決まります。ダウリング格子、および暗黙的にダウリング幾何学は、ダウリング (1973a,b) によって導入されました。

群Gのランクnのダウリング格子または幾何学は、しばしばQ _n ( G )と表記されます。

ダウリングは最初の論文 (1973a) で、有限体Fの乗法群の階数nのダウリング格子を定義しました。これは、最大で 2 つの非ゼロ座標を持つベクトルからなる集合Eの部分集合によって生成されるベクトル空間F ⁿのすべての部分空間の集合です。対応するダウリング幾何学は、 Eの元によって生成される 1 次元ベクトル部分空間の集合です。

2 番目の論文 (1973b) で、ダウリングは任意の有限群Gの階数n のダウリング格子の本質的な定義を与えました。S を集合 {1,..., n }とします。Gラベル付き集合( T , α ) は、集合 T と関数 α : T → G を組み合わせたものです。2つのGラベル付き集合( T , α )と( T , β )は、群元gが存在してβ = gαである場合に同値です。同値類は [ T , α ] で示されます。Sの部分G分割は、 Gラベル付き集合の同値類の集合γ = {[ B ₁ , α ₁ ], ..., [ B _k , α _k ]}であり、B ₁ , ..., B _kは、 Sの空でない部分集合で、2 つずつ互いに素です。 （kは0の場合もある。）部分G分割γは、他の部分G分割γ * 以下であるとは、

• 2番目のブロックはすべて1番目のブロックの集合であり、
• B * _jに含まれる各B _iについて、α _{i は}α * _{j を}ドメインB _iに制限することと同等です。

これはSのすべての部分G分割の集合の部分順序付けを与える。結果として得られる部分順序付けされた集合はダウリング格子Q _n ( G ) である。

ダウリングは有限体と有限群についてのみ言及していますが、定義はFまたはGが無限であっても有効です。

その後、Doubilet、Rota、Stanley (1972) によってグラフィカルな定義が与えられました。ここでは、ゲイン グラフで表される、Zaslavsky (1991) の少し単純な (ただし本質的には同等の) グラフィカルな定義を示します。

n 個の頂点を取り、各頂点のペアvとwの間に、群Gの各元でラベル付けされた 1 組の | G |平行辺を取ります。ラベルは方向付けられており、vからwの方向のラベルが群元gである場合、反対方向のwからvの同じ辺のラベルはg ⁻¹になります。したがって、辺のラベルは辺の方向に依存します。このようなラベルはゲインと呼ばれます。また、各頂点に、ゲインが 1 以外の任意の値であるループを追加します。(1 は群の単位元です。) これにより、 GK _n ^oと呼ばれるグラフが生成されます(隆起した円に注意)。(自明な群には少し異なる定義が必要です。追加される辺は半辺でなければなりません。)

グラフのサイクルにはゲインがあります。サイクルは、エッジのシーケンス、e ₁ e ₂ ··· e _kです。サイクルの周りの固定方向におけるこれらのエッジのゲインがg ₁、g ₂、...、g _kであるとします。サイクルのゲインは、積、g ₁ g ₂ ··· g _kです。このゲインの値は、サイクルに選択された方向と、サイクルの「最初の」エッジと呼ばれるものによって異なるため、完全には定義されていません。これらの選択とは無関係なのは、次の質問に対する答えです。ゲインは 1 に等しいかどうか。1 つの選択セットでゲインが 1 に等しい場合、すべての選択セットでも 1 に等しくなります。

ダウリング幾何学を定義するために、回路（最小従属集合）を指定します。マトロイドの回路は

• ゲインが1であるサイクル、
• 両方のゲインが1に等しくなく、1つの頂点で交差し、他には何も交差しないサイクルのペア、および
• 3 つのサイクルのいずれもゲインが 1 にならないシータグラフ。

したがって、ダウリング幾何学Q _n ( G ) は、ゲイングラフGK _n ^oのフレームマトロイド(またはバイアスマトロイド) です (隆起した円はループの存在を示します)。その他の同等の定義は、ゲイングラフに関する記事で説明されています。

ダウリング格子が興味深い理由の1つは、特性多項式が非常に単純であることです。Lがm個の元を持つ有限群Gのランクnのダウリング格子である場合、

${\displaystyle p_{L}(y)=(y-1)(ym-1)\cdots (y-[n-1]m-1),}$

あらゆる幾何学的格子に対する非常に単純な式。

また、各準群に関連付けられた、ランク 3 のみの Dowling 幾何学も存在します。Dowling (1973b) を参照してください。これは、より高いランクに単純に一般化されません。Zaslavsky (2012) によるn元準群を含む一般化があります。

• Peter Doubilet、Gian-Carlo Rota、Richard P. Stanley (1972)、「組合せ理論の基礎について (VI): 生成関数の考え方」。第 6 回バークレー数理統計および確率シンポジウム議事録(カリフォルニア州バークレー、1970/71)、第 2 巻:確率理論、pp. 267–318。カリフォルニア大学出版局、カリフォルニア州バークレー、1972 年。
• TA Dowling (1973a)、分割格子のq類似体。JN Srivastava 他編『組合せ理論の概観』 （国際シンポジウム議事録、コロラド州フォートコリンズ、1971 年）、pp. 101–115、第 11 章。北ホランド、アムステルダム、1973 年。
• TA Dowling (1973b)、「有限群に基づく幾何学的格子のクラス」Journal of Combinatorial Theory、シリーズ B、第 14 巻 (1973)、pp. 61–86。
• Kahn, Jeff、および Kung, Joseph PS (1982)、「組み合わせ幾何学の多様性」、アメリカ数学会誌、第 271 巻、pp. 485–499。
• Thomas Zaslavsky (1991)、「バイアスグラフ。II. 3つのマトロイド」。Journal of Combinatorial Theory、シリーズ B、第51巻、pp. 46–72。
• Thomas Zaslavsky (2012)、複数準群の結合性: 偏った展開の方法。 「数学の方程式」、Vol. 83、いいえ。 1、1–66ページ。