二重積分器

システムおよび制御理論において、二重積分器は2次制御システムの典型的な例である。 ^{[ 1 ]}これは、時間的に変化する力入力の影響下にある1次元空間内の単純な質量のダイナミクスをモデル化するものである。${\displaystyle {\textbf {u}}}$。

二重積分器を表す微分方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\ddot {q}}=u(t)}$

${\displaystyle y=q(t)}$

両方${\displaystyle q(t),u(t)\in \mathbb {R} }$では、これをベクトルを用いて状態空間形式で表してみましょう。${\displaystyle {\textbf {x(t)}}={\begin{bmatrix}q\\{\dot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\dot {q}}\\{\ddot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

この表現では、制御入力が${\displaystyle {\textbf {u}}}$出力の2階微分${\displaystyle {\textbf {x}}}$スカラー形式では、制御入力は出力の2階微分である。${\displaystyle q}$。

二重積分器の正規化された状態空間モデルは次の形式をとる。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

このモデルによれば、入力は${\displaystyle {\textbf {u}}}$出力の2階微分${\displaystyle {\textbf {y}}}$そのため、二重積分器という名前が付けられました。

状態空間入出力方程式のラプラス変換をとると、二重積分器の伝達関数は次のように表されることがわかる。

$\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

微分方程式は${\displaystyle q(t),y(t),u(t)}$そして${\displaystyle {\textbf {x(t)}}}$そして、状態空間表現：