ドットとボックス

ドットアンドボックスは、2人（時にはそれ以上）のプレイヤーが紙と鉛筆を使って遊ぶゲームです。19世紀にフランスの数学者エドゥアール・リュカによって初めて発表され、彼はこれをラ・ピポピペットと呼びました。^[1]このゲームには、ドットとダッシュ、ドットゲーム、^[3]ドットツードットグリッド、^[4]ボックス、^[5]ペンの中の豚など、さまざまな名前があります。^{[ 6]}

ゲームは空の点のグリッドから始まります。通常、2 人のプレーヤーが交代で、つながっていない 2 つの点の間に 1 本の水平または垂直の線を追加します。1×1 のボックスの 4 番目の辺を完成させたプレーヤーは 1 ポイントを獲得し、次のターンに進みます。ポイントは通常、ボックス内にプレーヤーを識別するマーク (イニシャルなど) を配置することで記録されます。線を配置できなくなった時点でゲームは終了します。最も多くのポイントを獲得したプレーヤーが勝者となります。^{[2] [7]}ボードのサイズは任意です。時間が足りない場合やゲームを習得したい場合は、2×2 ボード (3×3 点) が適しています。^[8]一方、5×5 ボードは熟練者に適しています。^[9]

ほとんどの初心者にとって、ゲームは多かれ少なかれランダムに点をつなげる段階から始まり、唯一の戦略はどの箱にも3番目の辺を追加しないことです。これは、残りのすべての（潜在的な）箱がチェーンに結合されるまで続きます。チェーンとは、1つまたは複数の隣接する箱のグループで、どの動きでもチェーン内のすべての箱を相手に渡すものです。この時点で、プレイヤーは通常、利用可能なすべての箱を取り、次に利用可能な最小のチェーンを相手に開きます。たとえば、初心者プレイヤーは、右の図の位置1のような状況に直面し、いくつかの箱を占領できる場合、チェーン内のすべての箱を取り、位置2になる可能性があります。しかし、最後の動きで次の大きなチェーンを開かなければならず、初心者はゲームに負けます。^{[2] [10]}

ポジション 1 に直面したより経験豊富なプレーヤーは、代わりにダブルクロス戦略を採用し、チェーン内の 2 つを除くすべてのボックスを取得し、ポジション 3 を残します。対戦相手はこれらの 2 つのボックスを取得し、次のチェーンを開けざるを得なくなります。ポジション 3 を達成することで、プレーヤー A が勝ちます。チェーンがいくつあっても、同じダブルクロス戦略が適用されます。この戦略を使用するプレーヤーは、各チェーン内の 2 つを除くすべてのボックスを取得し、最後のチェーン内のボックスをすべて取得します。チェーンが十分に長ければ、このプレーヤーが勝ちます。

両者ともダブルクロス戦略を使う（許可されていれば）エキスパート同士の戦略の複雑さの次のレベルは、コントロールをめぐる戦いである。エキスパートのプレイヤーは、相手に最初の長いチェーンを開かせようと試みる。なぜなら、長いチェーンを最初に開いたプレイヤーが負けるのが普通だからである。^{[2] [10]}犠牲の概念を理解していないプレイヤーに対しては、エキスパートは正しい数の犠牲を払うだけで、相手が勝利を確実にするのに十分な長さの最初のチェーンを渡すように仕向けることができる。他のプレイヤーも犠牲を払う場合、エキスパートはそれ以前のプレイを通じて利用可能な犠牲の数をさらに操作する必要がある。

組合せゲーム理論では、ドット・アンド・ボックスは公平なゲームであり、多くの局面はスプレイグ・グランディ理論を用いて分析できる。しかし、ドット・アンド・ボックスはほとんどの公平なゲームに見られる通常のプレイ慣習（最後に動いたプレイヤーが勝つ）を欠いており、分析がかなり複雑になる。^{[2] [10]}

ドットアンドボックスは長方形のグリッドでプレイする必要はなく、三角形のグリッドや六角形のグリッドでもプレイできます。^[2]

Dots and Boxes には、 「Strings-and-Coins」と呼ばれるデュアルグラフ形式があります。このゲームは、コイン (頂点) と紐 (辺) がつながったネットワーク上でプレイされます。プレイヤーは順番に紐を切ります。切断によって紐のないコインが残った場合、プレイヤーはコインを「ポケット」に入れて、次のターンに進みます。最も多くのコインをポケットに入れたプレイヤーが勝者となります。Strings-and-Coins は任意のグラフ上でプレイできます。^[2]

ドット・アンド・ボックスの分析では、外側の線がすでに描かれている状態でゲームが始まるものをスウェーデン式ボードと呼び、完全に空白で始まる標準バージョンをアメリカンボードと呼ぶ。左側と下側だけに線が描かれている中間バージョンをアイスランド式ボードと呼ぶ。^[11]

関連するゲームにDotsがあり、これは空白のグリッドに色のついたドットを追加し、直線または対角線でつなげて相手のドットを囲むことでプレイします。

• バリレ、マルゲリータ、「ドットとボックス」、MathWorld