データ駆動型制御システム

データ駆動型制御システムは、プロセスモデルの識別やコントローラの設計がプラントから収集された実験データに完全に基づく制御システムの広範なファミリーです。 ^[1]

多くの制御アプリケーションでは、プラントの数学的モデルを記述することは困難な作業であると考えられており、プロセスおよび制御エンジニアに労力と時間を必要とします。この問題は、収集された実験データにシステム モデルを適合させ、特定のモデル クラスでそれを選択するデータ駆動型方法によって克服されます。制御エンジニアは、このモデルを利用して、システムに適したコントローラーを設計できます。ただし、制御仕様に関係するシステムのダイナミクスのみを含む、物理システム用のシンプルで信頼性の高いモデルを見つけることは依然として困難です。直接データ駆動型方法を使用すると、システムの識別されたモデルを必要とせずに、特定のクラスに属するコントローラーを調整できます。この方法では、制御コスト関数内で関係するプロセス ダイナミクスに単純に重み付けし、関係のないダイナミクスを除外することもできます。

制御システム設計の標準的なアプローチは、次の 2 つのステップで構成されます。

1. モデル識別は、システム の公称モデルを推定することを目的としています。ここで、 は単位遅延演算子 (離散時間伝達関数表現用) であり、 はデータセット上で識別されるのパラメータのベクトルです。次に、検証は、特定の確率レベルで真のシステムを含む不確実性セットを構築することです。${\displaystyle {\widehat {G}}=G\left(q;{\widehat {\theta }}_{N}\right)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{N}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G_{0}}$
2. コントローラ設計の目的は、閉ループ安定性を実現し、必要なパフォーマンスを満たすコントローラを見つけることです。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$

システム同定の一般的な目的は、を にできるだけ近づけ、 をできるだけ小さくすることです。ただし、制御の視点から見ると、本当に重要なのは、モデルの本質的な品質ではなく、コントローラによって達成されるパフォーマンスです。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle \ガンマ}$

不確実性に対処する 1 つの方法は、を含む のすべてのモデルで許容可能なパフォーマンスを発揮するコントローラを設計することです。これは、プロセスの周波数領域の不確実性の説明を構築することを目的としたロバスト制御設計手順の背後にある主な考え方です。ただし、ノイズを平均化するという考えではなく、最悪のケースの仮定に基づいているため、このアプローチは通常、保守的な不確実性セットにつながります。むしろ、データ駆動型の手法は、実験データに基づいて作業し、過度の保守主義を回避することで不確実性に対処します。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G_{0}}$

以下に、データ駆動型制御システムの主な分類を示します。

システムを制御するには、さまざまな方法があります。基本的な違いは、間接的なコントローラ設計方法と直接的なコントローラ設計方法です。前者のグループの技術は、標準的な 2 段階アプローチを維持しています。つまり、最初にモデルが識別され、次にそのモデルに基づいてコントローラが調整されます。これを行う際の主な問題は、コントローラが推定モデルから計算されることです(確実性等価原理に従って)。しかし、実際には、この問題を克服するために、後者のグループの技術の背後にある考え方は、間にモデルを識別せずに、実験データをコントローラに直接マッピングすることです。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}\neq G_{0}}$

もう 1 つの重要な違いは、反復法と非反復法(またはワンショット法)の違いです。前者のグループでは、コントローラ パラメータを推定するために反復を繰り返す必要があり、その間に前回の反復の結果に基づいて最適化問題が実行され、反復ごとに推定の精度がますます高まることが期待されます。このアプローチは、オンライン実装にも適しています (以下を参照)。後者のグループでは、(最適な) コントローラ パラメータ化は単一の最適化問題で提供されます。これは、データ収集実験の反復または繰り返しが制限されているか、許可されていない (たとえば、経済的な側面により) システムでは特に重要です。このような場合は、単一のデータ セットでコントローラを提供できる設計手法を選択する必要があります。このアプローチは、多くの場合、オフラインで実装されます (以下を参照)。

実際の産業アプリケーションでは、オープンループまたはクローズドループのデータが継続的に利用できることが多いため、オンラインデータ駆動型技術では、プラントで新しい情報が収集されるたびに、それらのデータを使用して、識別されたモデルの品質やコントローラーのパフォーマンスを向上させます。代わりに、オフラインアプローチは、1 回だけ収集されるか、または一定間隔 (ただしかなり長い間隔) で複数回収集されるバッチ データに対して機能します。

反復フィードバックチューニング（IFT）法は、制御のための同定において、各反復が（誤った）確実性等価原理に基づいているという観察から始まり 、1994年に導入されました^{[2] 。}

IFT は、固定次数コントローラのパラメータを直接反復的に最適化するためのモデルフリー手法です。このようなパラメータは、標準 (閉ループ) システム操作からの情報を使用して連続的に更新できます。

を基準信号 に対する望ましい出力とすると、達成された応答と望ましい応答の間の誤差は です。制御設計の目的は、目的関数の最小化として定式化できます。 ${\displaystyle y^{d}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\チルダ {y}}(\rho )=y(\rho )-y^{d}}$

${\displaystyle J(\rho )={\frac {1}{2N}}\sum _{t=1}^{N}E\left[{\tilde {y}}(t,\rho )^{2}\right].}$

最小化する目的関数が与えられれば、準ニュートン法、つまり次のタイプの勾配検索を使用した勾配ベースの最小化を適用できます。

${\displaystyle \rho _{i+1}=\rho _{i}-\gamma _{i}R_{i}^{-1}{\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}(\rho _{i}).}$

値はステップ サイズであり、適切な正定値行列であり、勾配の近似値です。勾配の真の値は次のように表されます。 ${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle {\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}}$

${\displaystyle {\frac {dJ}{d\rho }}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left[{\tilde {y}}(t,\rho ){\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )\right].}$

の値は、次の 3 段階の方法論を通じて得られます。 ${\displaystyle {\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )}$

1. 通常の実験: をコントローラ、を参照として閉ループシステムで実験を実行し、と表記される出力の N 個の測定値を収集します。${\displaystyle C(\rho )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y(\rho )}$${\displaystyle y^{(1)}(\rho )}$
2. 勾配実験: をコントローラ、0 を参照として閉ループシステムで実験を実行します。信号を注入して、それが によって出力される制御変数に加算され、プラントへの入力として送られます。 として示される出力を収集します。${\displaystyle C(\rho )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ry^{(1)}(\rho )}$${\displaystyle C(\rho )}$${\displaystyle y^{(2)}(\rho )}$
3. 勾配近似として以下を取ります。${\displaystyle {\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho )={\frac {\delta C}{\delta \rho }}(\rho )y^{(2)}(\rho )}$

アルゴリズムの収束速度にとって重要な要素は の選択です。 が小さい場合、ガウス・ニュートン方向によって与えられる近似値を選択するのがよいでしょう。 ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}{\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho _{i}){\frac {\delta {\widehat {y}}^{T}}{\delta \rho }}(\rho _{i}).}$

非反復相関ベースチューニング（nCbT）は、固定構造コントローラのデータ駆動型チューニングのための非反復手法です。^[3]これは、単一のデータセットに基づいてコントローラを直接合成するワンショット手法を提供します。

が未知の LTI 安定 SISO プラント、ユーザ定義の参照モデル、およびユーザ定義の重み関数を表すものとします。LTI 固定次数コントローラは と表され、ここで、、および はLTI 基底関数のベクトルです。最後に、は任意の構造の理想的な LTI コントローラであり、に適用すると閉ループ関数が保証されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K(\rho )=\beta ^{T}\rho }$${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

目標は、次の目的関数を最小化することです。

${\displaystyle J(\rho )=\left\|F{\bigg (}{\frac {K^{*}G-K(\rho )G}{(1+K^{*}G)^{2}}}{\bigg )}\right\|_{2}^{2}.}$

${\displaystyle J(\rho )}$は、モデル参照問題から得られる目的関数の凸近似であり、 と仮定します。 ${\displaystyle {\frac {1}{(1+K(\rho )G)}}\approx {\frac {1}{(1+K^{*}G)}}}$

が安定かつ最小位相である場合、近似モデル参照問題は、図のスキームにおける のノルムの最小化と同等になります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \varepsilon (t)}$

入力信号は、持続的に励起される入力信号であり、安定したデータ生成メカニズムによって生成されるものと想定されます。したがって、2 つの信号は開ループ実験では相関がありません。したがって、理想的な誤差はと相関がありません。したがって、制御の目的は、 とが相関しないようなを見つけることです。 ${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$

操作変数 のベクトルは次のように定義されます。 ${\displaystyle \zeta (t)}$

${\displaystyle \zeta (t)=[r_{W}(t+\ell _{1}),r_{W}(t+\ell _{1}-1),\ldots ,r_{W}(t),\ldots ,r_{W}(t-\ell _{1})]^{T}}$

ここでは十分に大きく、は適切なフィルタです。 ${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle r_{W}(t)=Wr(t)}$${\displaystyle W}$

相関関数は次のとおりです。

${\displaystyle f_{N,\ell _{1}}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\zeta (t)\varepsilon (t,\rho )}$

最適化問題は次のようになります。

${\displaystyle {\widehat {\rho }}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}f_{N,\ell _{1}}^{T}f_{N,\ell _{1}}.}$

を のスペクトルで表すと、いくつかの仮定の下で、 が次のように選択されることが証明できます。 ${\displaystyle \phi _{r}(\omega )}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(e^{-j\omega })={\frac {F(e^{-j\omega })(1-M(e^{-j\omega }))}{\phi _{r}(\omega )}}}$

すると、次のことが成り立ちます。

${\displaystyle \lim _{N,\ell _{1}\to \infty ,\ell _{1}/N\to \infty }{\widehat {\rho }}=\rho ^{*}.}$

最小化するコントローラが安定しているという保証はありません。次の場合に不安定性が発生する可能性があります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle J_{N,\ell _{1}}}$

• が最小位相でない場合は、右半分の複素平面でキャンセルが発生する可能性があります。${\displaystyle G}$${\displaystyle K^{*}}$
• （たとえ安定化が）達成できない場合は、安定化していない可能性があります。${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle K(\rho )}$
• 測定ノイズにより、安定していても、データ推定が安定しない場合があります。${\displaystyle K^{*}=K(\rho )}$${\displaystyle {\widehat {K}}(\rho )}$

安定化コントローラと閉ループ伝達関数を考えます。定義: ${\displaystyle K_{s}}$${\displaystyle M_{s}={\frac {K_{s}G}{1+K_{s}G}}}$

${\displaystyle \Delta (\rho ):=M_{s}-K(\rho )G(1-M_{s})}$

${\displaystyle \delta (\rho ):=\left\|\Delta (\rho )\right\|_{\infty }.}$

定理

コントローラは、${\displaystyle K(\rho )}$${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle \Delta (\rho )}$安定している
2. ${\displaystyle \exists \delta _{N}\in (0,1)}$st${\displaystyle \delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

条件 1 は次の場合に適用されます。

• ${\displaystyle K(\rho )}$安定している
• ${\displaystyle K(\rho )}$インテグレータが含まれています（キャンセルされます）。

安定性制約のあるモデル参照設計は次のようになります。

${\displaystyle \rho _{s}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J(\rho )}$

${\displaystyle {\text{s.t. }}\delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

の凸データ駆動型推定は、離散フーリエ変換によって得ることができます。 ${\displaystyle \delta (\rho )}$

以下を定義します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {R}}_{r}(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )r(t){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}\\[4pt]&{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )\varepsilon (t,\rho ){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}.\end{aligned}}}$

安定した最小位相プラントの場合、次の凸データ駆動型最適化問題が与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\rho }}&={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )\\[3pt]&{\text{s.t.}}\\[3pt]&{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\leq \delta _{N}{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r}(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\\[4pt]\omega _{k}&={\frac {2\pi k}{2\ell _{2}+1}},\qquad k=0,\ldots ,\ell _{2}+1.\end{aligned}}}$

仮想リファレンス フィードバック チューニング (VRFT) は、固定構造コントローラのデータ駆動型チューニングのための非反復的な方法です。単一のデータセットに基づいてコントローラを直接合成するワンショット メソッドを提供します。

^VRFTは[4]で最初に提案され、その後LPVシステムに拡張されました。^{[5] VRFTは[6]}で示されたアイデアに基づいて構築されています。 ${\displaystyle VRD^{2}}$

主なアイデアは、目的の閉ループ モデルを定義し、その逆ダイナミクスを使用して、測定された出力信号から仮想参照を取得することです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{v}(t)}$${\displaystyle y(t)}$

仮想信号は、${\displaystyle r_{v}(t)=M^{-1}y(t)}$${\displaystyle e_{v}(t)=r_{v}(t)-y(t).}$

最適なコントローラーは、次の最適化問題を解くことによってノイズのないデータから得られます。

${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{\infty }={\underset {\rho }{\operatorname {arg\,min} }}\lim _{N\to \infty }J_{vr}(\rho )}$

ここで最適化関数は次のように与えられます。

${\displaystyle J_{vr}^{N}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(u(t)-K(\rho )e_{v}(t)\right)^{2}.}$

• オートメーション
• 人工知能

データ駆動型制御システム入門 Ali Khaki-Sedigh

ISBN: 978-1-394-19642-5 2023年11月 Wiley-IEEE Press 384ページ

• MATLAB 用 VRFT ツールボックス