連続的な自発的局在モデル

連続自発局在（CSL）モデルは、量子力学における自発的崩壊モデルであり、1989年にフィリップ・パールによって提案されました。^{[1]そして1990年に}ジャン・カルロ・ギラルディ、フィリップ・パール、アルベルト・リミニによって完成されました。 ^[2]

動的縮小（崩壊とも呼ばれる）モデルの中で最も広く研究されているのはCSLモデルです。 ^{[1] [2] [3]}ギラルディ-リミニ-ウェーバーモデルを基にしたCSLモデル^[4]は、ギラルディ-リミニ-ウェーバーモデルとは対照的に、波動関数の崩壊が時間的に連続的に発生すると記述します。

このモデルの主な特徴は以下の通りである: ^[3]

• ローカリゼーションは位置に基づいて行われ、これがこのモデルで推奨される基準となります。
• このモデルは、ミクロなシステムのダイナミクスを大幅に変更しませんが、マクロなオブジェクトに対しては強力になります。増幅メカニズムにより、このスケーリングが保証されます。
• 同一粒子の対称性特性が保持されます。
• これは、と という2 つのパラメータによって特徴付けられます。これらはそれぞれ、モデルの崩壊率と相関長です。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle r_{C}}$

波動関数の CSL 動力学方程式は確率的かつ非線形です。ここでは量子力学ダイナミクスを記述するハミルトニアン、は核子の質量と等しい基準質量、ノイズ場は平均がゼロで相関が に等しく、はノイズ全体の確率平均を表します。最後に、 は質量密度演算子で、と読みます。ここで、 および はそれぞれ、質量点 でのスピンを持つタイプの粒子の 2 番目に量子化された生成演算子と消滅演算子です。これらの演算子を使用すると、同一粒子の対称性プロパティの保存が満たされます。さらに、質量比例により、増幅メカニズムが自動的に実装されます。 の形式を選択すると、位置基底の崩壊が保証されます。 $${\displaystyle \operatorname {d} \!|\psi _{t}\rangle =\left[-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\operatorname {d} \!t+{\frac {\sqrt {\lambda }}{m_{0}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\,{\hat {N}}_{t}({\bf {x}})\operatorname {d} \!W_{t}({\bf {x}})\right.\left.-{\frac {\lambda }{2m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\int \operatorname {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y}}){\hat {N}}_{t}({\bf {x}}){\hat {N}}_{t}({\bf {y}})\operatorname {d} \!t\right]|\psi _{t}\rangle .}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle g({\bf {x}}-{\bf {y}})=e^{-{({\bf {x}}-{\bf {y}})^{2}}/{4r_{C}^{2}}}}$${\displaystyle w_{t}({\bf {x}})=\operatorname {d} \!W_{t}({\bf {x}})/\operatorname {d} \!t}$$${\displaystyle \mathbb {E} [w_{t}({\bf {x}})w_{s}({\bf {y}})]=g({\bf {x}}-{\bf {y}})\delta (ts),}$$${\displaystyle \mathbb {E} [\ \cdot \ ]}$$${\displaystyle {\hat {N}}_{t}({\bf {x}})={\hat {M}}({\bf {x}})-\langle \psi _{t}|{\hat {M}}({\bf {x}})|\psi _{t}\rangle ,}$$${\displaystyle {\hat {M}}({\bf {x}})}$$${\displaystyle {\hat {M}}({\bf {x}})=\sum _{j}m_{j}\sum _{s}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\bf {x}},s){\hat {a}}_{j}({\bf {x}},s),}$$${\displaystyle {\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\bf {y}},s)}$${\displaystyle {\hat {a}}_{j}({\bf {y}},s)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\bf {y}}}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle {\hat {M}}({\bf {x}})}$

CSLモデルの作用は、2つの現象論的パラメータとの値によって定量化されます。もともと、Ghirardi-Rimini-Weberモデル^[4]はmでsを提案しましたが、後にAdlerはより大きな値を検討しました: ^[5] mの場合はs 、 mの場合はs 。最終的には、これらの値は実験によって制限される必要があります。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle r_{C}}$${\displaystyle \lambda =10^{-17}\,}$${\displaystyle ^{-1}}$${\displaystyle r_{C}=10^{-7}\,}$ ${\displaystyle \lambda =10^{-8\pm 2}\,}$${\displaystyle ^{-1}}$${\displaystyle r_{C}=10^{-7}\,}$${\displaystyle \lambda =10^{-6\pm 2}\,}$${\displaystyle ^{-1}}$${\displaystyle r_{C}=10^{-6}\,}$

波動関数のダイナミクスから、統計演算子 に対応するマスター方程式を取得できます。マスター方程式を位置基底で表すと、その直接的な作用は位置 の密度行列を対角化することであることが明確になります。質量 の単一の点状粒子の場合、次のように表されます。ここで、 を持つ非対角項は指数関数的に減少します。逆に、 によって特徴付けられる対角項は保持されます。複合システムの場合、単一粒子の崩壊率は、複合システムの崩壊率で置き換える必要があります。ここで、 はシステムの質量密度のフーリエ変換です。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{t}}$$${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!{\hat {\rho }}_{t}}{\operatorname {d} \!t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {\rho }}_{t}}\right]-{\frac {\lambda }{2m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\int \operatorname {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y}})\left[{{\hat {M}}({\bf {x}})},\left[{{{\hat {M}}({\bf {y}})},{{\hat {\rho }}_{t}}}\right]\right].}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\frac {\partial \langle {{\bf {x}}|{\hat {\rho }}_{t}|{\bf {y}}}\rangle }{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\langle {{\bf {x}}|\left[{\hat {H}},{{\hat {\rho }}_{t}}\right]|{\bf {y}}}\rangle -\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}\left(1-e^{-{\tfrac {({\bf {x}}-{\bf {y}})^{2}}{4r_{C}^{2}}}}\right)\langle {{\bf {x}}|{\hat {\rho }}_{t}|{\bf {y}}}\rangle ,}$$${\displaystyle {\bf {x}}\neq {\bf {y}}}$${\displaystyle {\bf {x}}={\bf {y}}}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}\to \lambda {\frac {r_{C}^{3}}{\pi ^{3/2}m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {k}}|{\tilde {\mu }}({\bf {k}})|^{2}e^{-k^{2}r_{C}^{2}},}$$${\displaystyle {\tilde {\mu }}(k)}$

測定問題に対する他のほとんどの提案された解決策とは異なり、崩壊モデルは実験的にテスト可能です。CSL モデルをテストする実験は、干渉実験と非干渉実験の 2 つのクラスに分けられ、それぞれ崩壊メカニズムの直接的および間接的な影響を調べます。

干渉計実験は、波動関数を空間に局在させるという崩壊の直接的な作用を検出することができる。これには、重ね合わせが生成され、しばらくしてからその干渉パターンが調べられるすべての実験が含まれる。CSL の作用は干渉コントラストの低減であり、統計演算子^[6]の非対角項の低減によって定量化される。ここで、は量子力学によって記述される統計演算子を表し、次のように定義される。干渉コントラストのこのような低減をテストする実験は、冷却原子^[7]、 分子^{[6] [8] [9] [10] 、およびエンタングルされたダイヤモンド[11] [12]}を使用して実行される。$${\displaystyle \rho (x,x',t)={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!k\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!w\,e^{-ikw/\hbar }F_{CSL}(k,x-x',t)\rho ^{QM}(x+w,x'+w,t),}$$${\textstyle \rho ^{QM}}$$${\displaystyle F_{CSL}(k,q,t)=\exp {\bigg [}-\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}t\left(1-{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\operatorname {d} \!\tau \,e^{-{(q-{\frac {k\tau }{m}})^{2}}/{4r_{C}^{2}}}\right){\bigg ]}.}$$

同様に、最小の崩壊強度を定量化して、マクロレベルでの測定問題を解決することもできます。具体的には、半径mの単層グラフェンディスクの重ね合わせがs 未満で崩壊することを要求することで、推定値^[6]を得ることができます。${\displaystyle \simeq 10^{-5}}$${\displaystyle \simeq 10^{-2}}$

非干渉実験は、重ね合わせの準備に基づかないCSLテストです。この実験では、崩壊ノイズとの相互作用によって誘発されるブラウン運動からなる崩壊の間接的な効果を利用します。このノイズの影響は、システムに作用する有効な確率的力に相当し、そのような力を定量化するためにいくつかの実験を設計できます。これには次のものが含まれます。^[13]

• 荷電粒子からの放射線放出。粒子が電荷を帯びている場合、崩壊ノイズとの結合作用により放射線の放出が誘発されます。この結果は、自由粒子からの放射線は予測されないという量子力学の予測とはまったく対照的です。電荷を持つ粒子の周波数におけるCSL誘発放出率の予測値は、次式で与えられます。^{[14] [15] [16] [17]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!\Gamma (\omega )}{\operatorname {d} \!\omega }}={\frac {\hbar Q^{2}\lambda }{2\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}m_{0}^{2}r_{C}^{2}\omega }},}$$ここで、は真空の誘電率、は光速である。このCSLの予測は、バルクゲルマニウム試験質量からのX線放射スペクトルを解析することによって 検証することができる^{[18] [19] [20] [21] 。}${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle c}$

• バルク材料の加熱。CSL の予測は、システムの全エネルギーの増加です。たとえば、 3 次元の質量を持つ自由粒子の全エネルギーは、システムの初期エネルギーである^[3]に従って時間とともに線形に増加します。この増加は実質的に小さいです。たとえば、水素原子の温度は、 sとm の値を考慮すると、1 年あたり K増加します。小さいとはいえ、このようなエネルギー増加は、冷たい原子を監視することでテストできます。^{[22] [23]}およびバルク材料、ブラベー格子^[24]低温実験^[25]中性子星^{[26] [27]}および惑星^[26]${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$ $${\displaystyle E(t)=E(0)+{\frac {3m\lambda \hbar ^{2}}{4m_{0}^{2}r_{C}^{2}}}t,}$$${\displaystyle E(0)}$${\displaystyle \simeq 10^{-14}}$${\displaystyle \lambda =10^{-16}}$${\displaystyle ^{-1}}$${\displaystyle r_{C}=10^{-7}}$

• 拡散効果。CSLモデルのもう一つの予測は、システムの質量中心の位置の広がりが増加することです。自由粒子の場合、1次元での位置の広がりは^[28]で表されます。ここで、は自由量子力学的広がり、はCSL拡散定数で、次のように定義されます。^{[29] [30] [31]}ここで、運動は軸に沿って発生すると仮定します。は質量密度のフーリエ変換です。実験では、このような増加は散逸率によって制限されます。実験が温度で行われると仮定すると、周波数で調和的にトラップされた質量の粒子は、平衡時に次で与えられる位置の広がりに達します。 ^{[32] [33]}ここで、はボルツマン定数です。このような広がりをテストできる実験はいくつかあります。それらは、冷たい原子の自由膨張、^{[22] [23]}ミリケルビン温度まで冷却されたナノカンチレバー、^{[32] [34] [35] [36]}重力波検出器、^{[37] [38]}浮上したオプトメカニクス、^{[33] [39] [40] [41]}ねじり振り子^{[42]など多岐にわたります。}$${\displaystyle \langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}=\langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}^{(QM)}+{\frac {\hbar ^{2}\eta t^{3}}{3m^{2}}},}$$${\displaystyle \langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}^{(QM)}}$${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle \eta ={\frac {\lambda r_{C}^{3}}{2\pi ^{3/2}m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {k}}\,e^{-{\bf {k}}^{2}r_{C}^{2}}k_{x}^{2}|{\tilde {\mu }}({\bf {k}})|^{2},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\bf {k}})}$${\displaystyle \mu ({\bf {r}})}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega _{0}}$$${\displaystyle \langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{eq}={\frac {k_{B}T}{m\omega _{0}^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}\eta }{2m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma }},}$$${\displaystyle k_{B}}$

CSL モデルは、一貫して崩壊メカニズムを動的プロセスとして説明します。ただし、2 つの弱点があります。

• CSL は孤立系のエネルギーを保存しない。この増加は小さいが、現象論的モデルにとっては好ましくない特徴である。^[3] CSL モデルの散逸拡張^{[43] [44]}は解決策を与える。崩壊ノイズに、系が最終的に熱平衡化する有限温度を関連付ける。^{[説明が必要]}したがって、例えば、3 次元の質量を持つ自由点状粒子の場合、文献^[43]のエネルギー発展は、、で記述される。CSL ノイズが宇宙論的起源を持つと仮定すると (その想定される普遍性により合理的である)、そのような温度の妥当な値は K であるが、実験によってのみ明確な値を示すことができる。いくつかの干渉計による^{[6] [9]}および非干渉計による^{[23] [40] [45] [46]}テストにより、 の異なる選択に対して CSL パラメータ空間が制限される。${\displaystyle T_{CSL}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle E(t)=e^{-\beta t}(E(0)-E_{as})+E_{as},}$$${\displaystyle E_{as}={\tfrac {3}{2}}k_{B}T_{CSL}}$${\displaystyle \beta =4\chi \lambda /(1+\chi )^{5}}$${\displaystyle \chi =\hbar ^{2}/(8m_{0}k_{B}T_{CSL}r_{C}^{2})}$${\displaystyle T_{CSL}=1}$${\displaystyle T_{CSL}}$

• CSL ノイズ スペクトルは白色 です。CSL ノイズに物理的な起源があるとすれば、そのスペクトルは白色ではなく有色になります。特に、相関が時間におけるディラック デルタに比例する白色ノイズ の代わりに、非自明な時間相関関数 を特徴とする非白色ノイズを検討します。効果は の再スケーリングによって定量化でき、これは となります。ここでです。例として、時間相関関数が^[47]の形になる指数関数的に減衰するノイズを検討することができます。このようにして、周波数カットオフ を導入し、その逆関数がノイズ相関の時間スケールを記述します。パラメーター は、およびとともに、有色 CSL モデルの 3 番目のパラメーターとして機能します。ノイズの宇宙論的起源を想定すると、妥当な推測値は^[48] Hz です。散逸拡張に関しては、異なる値に対して実験的限界が得られており、これには干渉計による^{[6] [9]}テストと非干渉計による^{[23] [47]}テストが含まれる。${\displaystyle w_{t}({\bf {x}})}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle F_{CSL}(k,q,t)}$$${\displaystyle F_{cCSL}(k,q,t)=F_{CSL}(k,q,t)\exp \left[{\frac {\lambda {\bar {\tau }}}{2}}\left(e^{-(q-kt/m)^{2}/4r_{C}^{2}}-e^{-q^{2}/4r_{C}^{2}}\right)\right],}$$${\displaystyle {\bar {\tau }}=\int _{0}^{t}\operatorname {d} \!s\,f(s)}$ ${\displaystyle f(t)={\tfrac {1}{2}}\Omega _{C}e^{-\Omega _{C}|t|}}$${\displaystyle \Omega _{C}}$${\displaystyle \Omega _{C}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{C}=10^{12}\,}$${\displaystyle \Omega _{C}}$