Loading article…
コンリーの力学系の基本定理またはコンリーの分解定理は、コンパクトな位相図を持つ力学系のあらゆるフローは、連鎖回帰部分と勾配のようなフロー部分に分解できることを述べています。[1]多くの力学系を簡潔かつ完全に記述できるため、コンリーの定理は力学系の基本定理としても知られています。[2] [3]コンリーの基本定理は、非コンパクトな位相図を持つシステム[4]やハイブリッド力学系にも拡張されています。 [5]
完全なリャプノフ関数
Conley の分解は、完全リアプノフ関数と呼ばれる関数によって特徴付けられます。平衡点 (または固定点) の安定性を主張するために使用され、対応するアトラクターの吸引域でのみ定義できる従来のリアプノフ関数とは異なり、完全リアプノフ関数は位相ポートレート全体で定義する必要があります。
コンパクト集合X上で定義された自律微分方程式の特定のケースでは、 XからRへの完全なリアプノフ関数V は、次を満たすX上の実数値関数である: [6]
- Vは微分方程式のすべての解に沿って非増加であり、
- V は孤立不変集合上で定数です。
コンリーの定理は、コンパクトな計量空間上の任意の微分方程式に対して連続した完全なリアプノフ関数が存在することを述べています。離散時間動的システムについても同様の結果が得られます。
参照
参考文献
- ^ Conley, Charles (1978)。孤立不変集合とモース指数：解説講義。数学の地域会議シリーズ。国立科学財団。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1688-2。
- ^ ノートン、ダグラス E. (1995)。 「力学系の基本定理」。コメント カロライナ大学数学。36 (3): 585–597。ISSN 0010-2628。
- ^ Razvan, MR (2004). 「Conley の動的システムの基本定理について」. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 2004 (26): 1397–1401. arXiv : math/0009184 . doi : 10.1155/S0161171204202125 . ISSN 0161-1712.
- ^ハーレー、マイク （ 1991）。 「非コンパクト空間における連鎖再帰と引力」エルゴード理論と動的システム。11 （4）：709–729。doi ：10.1017 / S014338570000643X。ISSN 0143-3857 。
- ^ Kvalheim , Matthew D.; Gustafson, Paul; Koditschek , Daniel E. (2021). 「ハイブリッドシステムのクラスに対するコンリーの基本定理」。SIAM Journal on Applied Dynamical Systems。20 ( 2): 784–825。arXiv : 2005.03217。doi : 10.1137 /20M1336576。ISSN 1536-0040。
- ^ Hafstein, Sigurdur; Giesl, Peter (2015). 「リアプノフ関数の計算方法のレビュー」.離散および連続動的システム - シリーズB. 20 ( 8): 2291–2331. doi : 10.3934/dcdsb.2015.20.2291 . ISSN 1531-3492.