構成周波数解析

構成頻度分析 (CFA)は、1969 年に Gustav A. Lienert によって導入された探索的データ分析の手法です。 ^[1]構成頻度分析の目的は、偶然に予想されるよりも大幅に多く発生する (このようなパターンはタイプと呼ばれます)、または大幅に少なく発生する (このようなパターンはアンチタイプと呼ばれます) データ内のパターンを検出することです。したがって、CFA の考え方は、識別されたタイプとアンチタイプに、データの構造に関する洞察を提供することです。タイプは、変数値のパターンによって構成される概念として解釈されます。アンチタイプは、一般に一緒に発生しない変数値のパターンとして解釈されます。

CFA の基本的な考え方を簡単な例で説明します。n人の患者それぞれが特定の症状s ₁、...、s _mを示しているかどうかを示すデータ セットがあるとします。簡単にするために、症状が現れているかどうか、つまり二分データ セットがあると仮定します。

したがって、データセットの各レコードはm組 ( x ₁、...、x _m ) であり、各x _iは 0 (患者は症状i を示さない ) または 1 (患者は症状i を示す ) のいずれかです。このようなm組はそれぞれ構成と呼ばれます。C をすべての可能な構成の集合、つまり {0,1} ^m上のすべての可能なm組の集合とします。したがって、データセットは、 C内のすべての可能な構成の観測頻度f ( c )をリストすることによって記述できます。

CFAの基本的な考え方は、 m個の症状が統計的に独立しているという仮定の下で、各構成の頻度を推定することです。独立性の仮定の下で推定された頻度をe ( c )とします。

調査対象集団のメンバーが症状s _iを示す確率をp _i (1) 、調査対象集団のメンバーが症状s _{i を}示さない確率をp _i (0) とする。すべての症状が独立していると仮定すると、構成c = ( c ₁ , ..., c _m ) の期待相対頻度は次のように計算できる。

${\displaystyle e(c)=n\prod _{i=1}^{m}p_{i}(c_{i}).}$

ここで、f ( c )とe ( c )は統計的検定によって比較することができます（CFAで適用される典型的な検定は、ピアソンのカイ2乗検定、二項検定、またはレーマッハーの超幾何検定です）。

統計的検定によって、与えられた水準でf ( c ) とe ( c )の差が有意であることが示唆される場合、 f ( c ) > e ( c )であればc はタイプと呼ばれ、 f ( c ) < e ( c )であれば c はアンチタイプと呼ばれます。 f ( c ) とe ( c )の間に有意差がない場合、c はタイプでもアンチタイプでもありません。したがって、各構成c は、原理的に 3 つの異なる状態を持つことができます。タイプ、アンチタイプ、または分類されない状態になります。 ${\displaystyle \alpha}$

タイプとアンチタイプは対称的に定義されます。しかし、実際のアプリケーションでは、研究者は主にタイプの検出に関心があります。たとえば、臨床研究では通常、病気の指標となる症状の組み合わせを検出することに関心があります。これらは定義上、偶然に予想されるよりも頻繁に発生する症状の組み合わせ、つまりタイプです。

CFA では有意性検定が各構成cに対して並行して適用されるため、タイプ I の誤り (つまり、帰無仮説が正しい場合にタイプまたはアンチタイプを検出すること) を犯すリスクが高くなります。これを制御する現在最も一般的な方法は、αレベルにBonferroni 補正を使用することです。^[2] αレベルを制御するには、いくつかの代替方法があります。1 つの代替方法である、 Sture Holm によって導入されたHolm–Bonferroni 法では、 i番目のテストが実行されたときにすでに完了しているテストの数を考慮します。^[3]したがって、この方法では、α レベルはすべてのテストで一定ではありません。

上記の例では、簡単にするために症状が二分法であると仮定しました。しかし、これは必ずしも必要な制約ではありません。CFA は、二分法ではないが、次数が有限である症状（またはオブジェクトのより一般的な属性）にも適用できます。この場合、構成はC = S ₁ x ... x S _mの要素であり、ここでS _{i は}症状s _iの可能な次数の集合です。^{[2] [4] [5] [6]}

症状の独立性の仮定は、構成の期待頻度e ( c )を計算する別の方法に置き換えることができる。このような方法はチャンスモデルと呼ばれる。

CFA のほとんどのアプリケーションでは、すべての症状が独立しているという仮定がチャンス モデルとして使用されます。そのチャンス モデルを使用する CFA は、1 次 CFAと呼ばれます。これは、多くの出版物で唯一の CFA 方法であるとさえ考えられている、CFA の古典的な方法です。代替チャンス モデルの例としては、すべての構成が同じ確率を持つという仮定があります。そのチャンス モデルを使用する CFA は、ゼロ次 CFAと呼ばれます。

• Lehmacher, W. (1981). 「構成周波数分析におけるより強力な同時テスト手順」.バイオメトリカルジャーナル. 23 (5): 429–436. doi :10.1002/bimj.4710230503.
• Schrepp, M. (2006). 「探索的データ分析における構成頻度分析の使用」。British Journal of Mathematical and Statistical Psychology。59 ( 1): 59–73。doi :10.1348/000711005X66761。PMID 16709279  。
• von Eye, A. (2002). 「アンチタイプが有利になる確率 - 構成タイプとアンチタイプを識別するためのテストの比較」(PDF) .心理学研究の方法. 7 (3): 1–29.
• von Eye, A.; Rovine, MJ (1988). 「構成頻度分析の有意性検定の比較」EDP in Medicine and Biology . 19 : 6–13.
• von Eye, A.; Spiel, C.; Wood, PK (1996). 「応用心理学研究における構成周波数分析」.応用心理学: 国際レビュー. 45 (4): 301–352. doi :10.1111/j.1464-0597.1996.tb00770.x.
• フォン・ウェーバー、S. (2000)。 「CFA で使用されるテストのシミュレーションによる比較」。心理学 Beiträge。42 (3)。