複合プリズム

複合プリズムは、複数の三角プリズム要素を接触させて配置し、多くの場合は接着して一体化した構造を形成します。^[1]複数の要素を使用することで、光学設計者にはいくつかの利点があります。^[2]

• 設計波長でのビームの偏向を起こさずにスペクトル分散を実現できます。つまり、光軸に対してある角度で入射する設計波長の光は、同じ軸に対して同じ角度でプリズムから出射します。このような効果は、「直接視覚分散」または「非偏向分散」と呼ばれることがよくあります。^[3]${\displaystyle \theta _{0}}$
• 入射ビームを偏向させると同時に、ビームに導入される分散を大幅に低減させるのがアクロマート偏向プリズムである。この効果はビームステアリングに利用される。^{[4] [5]}
• プリズムの分散を調整することで、分散の直線性を高めたり、高次の分散効果を実現したりすることができます。

最も単純な複合プリズムは、右の図に示すように、接触する 2 つの要素からなるダブレットです。プリズムを通過する光線は、最初に空気とガラスの界面で屈折し、再び 2 つのガラスの界面で屈折し、最後に出射するガラスと空気の界面で屈折します。光線の偏角は、入射光線と出射光線の光線角度の差によって決まります。ダブレット プリズムから直接視力分散を生成できますが、通常、ビームの大きな変位が発生します ( y方向の 2 つの破線間の間隔として表示されます)。数学的には、各界面でのスネルの法則の式を連結することで計算できます。 ^[2]${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{4}}$${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}-\beta _{1}&\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta '_{3}&=\arcsin(n_{2}\,\sin \theta _{3})\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta _{4}&=\theta '_{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})\end{aligned}}}$

したがって、偏角はガラスの屈折率と、プリズム要素の頂角と、光線の入射角の非線形関数になります。はプリズムが反転している（頂点が下を向いている）ことを示していることに注意してください。 ${\displaystyle n_{1}(\lambda )}$${\displaystyle n_{2}(\lambda )}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

入射角とプリズム頂角がともに小さい場合、およびとなり、偏角の非線形方程式は線形形式で近似できる。 ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$${\displaystyle {\text{arcsin}}(x)\approx x}$${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle \delta (\lambda )={\big [}n_{1}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{1}+{\big [}n_{2}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{2}\ .}$

（プリズム偏向と分散も参照）さらに屈折率に対する波長依存性がほぼ線形であると仮定すると、分散は次のように表される。

${\displaystyle \Delta ={\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar { \ラムダ }})}{V_{2}}}\ ,}$

ここで、 およびは複合プリズム内の要素の分散とアッベ数です。スペクトルの中心波長は と表されます。 ${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle V_{i}=({\bar {n}}-1)/(n_{F}-n_{C})}$${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

ダブレットプリズムは、直視分散によく使用されます。このようなプリズムを設計するには、 とし、同時に方程式とを解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\bar {\delta }}=0}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \delta _{1}({\bar {\lambda }})=-\delta _{2}({\bar {\lambda }})=-\Delta {\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ ,}$

そこから要素の頂角と選択したガラスの平均屈折率を得ることができます。 ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{1}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{aligned}}}$

この式は小角度近似の場合にのみ正確であることに注意してください。

ダブレットプリズムは最も単純な複合プリズムタイプですが、ダブルアミチプリズムの方がはるかに一般的です。このプリズムは3要素システム（トリプレット）で、第1要素と第3要素は同じガラスと同じ頂角を共有しています。したがって、設計レイアウトは、第2要素の中心を通る平面に対して対称です。その対称性により、ダブルアミチプリズムの線形設計方程式（小角近似の下）は、ダブレットプリズムの方程式と、各方程式の最初の項の前の係数2だけ異なります。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta ({\bar {\lambda }})&=2\delta _{1}({\bar {\lambda }})+\delta _{2}({\bar {\lambda }})=2{\big (}{\bar {n}}_{1}-1)\alpha _{1}+{\big (}{\bar {n}}_{2}-1)\alpha _{2}\ ,\\\Delta &=2{\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar {\lambda }})}{V_{2}}}\ .\end{aligned}}}$

したがって、これらの線形方程式を使用してプリズム角度の式を導くことができ、

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{2({\bar {n}}_{1}-1)}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{aligned}}}$

偏向角の正確な非線形方程式は、各界面で得られた屈折方程式を連結することによって得られます。 ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{1}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{1}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}$

光線の偏角は次のように与えられます。 ${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}$

ダブルアミチプリズムは、より一般的なトリプレットプリズムの対称形であり、2つの外側の要素の頂角とガラスが異なる場合があります（右の図を参照）。トリプレットプリズムは光学システムではあまり見られませんが、ダブルアミチ設計を超える自由度が追加されているため、分散の直線性が向上します。トリプレットプリズムの偏角は、各インターフェースでの屈折方程式を連結することによって得られます。^{[6] [7]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{3}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{3}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{3}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}$

ここで、光線の偏角は で与えられます。 ${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}$

• 分散プリズム