コレクションごとの通常のスペース

数学において、位相空間${\displaystyle X}$は、閉部分集合の任意の離散族F _i ( i ∈ I )に対して、集合的に正規であると呼ばれる。${\displaystyle X}$互いに素な開集合の族U _i ( i ∈ I )が存在し、 F _i ⊆ U _iとなる。ここで、族は$\displaystyle {\mathcal {F}}}$サブセットの${\displaystyle X}$は、すべての点が離散的である場合に離散的と呼ばれます。${\displaystyle X}$集合のうち最大で１つと交差する 近傍を持つ$\displaystyle {\mathcal {F}}}$コレクションごとの正規性の同等の定義^{[ 1 ]}では、上記のU _i ( i ∈ I )自体が離散的な族を形成することが要求され、これはペアごとの非交差性よりも先験的に強い。

一部の著者は次のように仮定している。${\displaystyle X}$定義の一部としてT ₁空間も含まれるが、ここではそのような仮定はしない。

この性質は、パラコンパクト性と正規性の中間的な強さを持ち、計量定理に現れる。

• 集合ごとの正規空間は集合ごとのハウスドルフ空間である。
• コレクションごとの正規空間は正規である。
• ハウスドルフのパラ コンパクト空間は集合ごとに正規である。^{[ 2 ]} 特に、すべての距離化可能な空間は集合ごとに正規である。注：ハウスドルフ条件はここで必要である。例えば、余有限位相を持つ無限集合はコンパクトであり、したがってパラコンパクトであり、T ₁であるが、正規ですらない。
• すべての正規可算コンパクト空間（したがってすべての正規コンパクト空間）は集合ごとに正規である。証明：可算コンパクト空間では、空でない任意の離散部分集合族は有限であるという事実を用いる。
• 集合ごとに正規な空間における F σ 集合は、部分空間位相においても集合ごとに正規である。_特に、これは閉部分集合に対して成り立つ。
• のムーア計量定理は、集合ごとに正規なムーア空間計量可能である。

位相空間Xは、部分空間位相を持つXのすべての部分空間が集合的に正規である場合、遺伝的に集合的に正規であると呼ばれる。

遺伝的に正規な空間が分離集合によって特徴付けられるのと同様に、遺伝的に集合ごとに正規な空間についても同等の特徴付けが可能である。${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$Xの部分集合の集合は、すべてのiに対して、次の条件を満たす場合、分離族と呼ばれます。${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ここで cl はXの閉包演算子を表す。言い換えれば、${\displaystyle F_{i}}$は、その和集合において離散的である。以下の条件は同値である：^{[ 3 ]}

1. Xは遺伝的に集合的に正常である。
2. Xのすべての開部分空間は、集合ごとに正規である。
3. 離散した家族ごとに${\displaystyle F_{i}}$Xの部分集合の 1 つに対して、互いに素な開集合の族が存在する。${\displaystyle U_{i}(i\in I)}$、したがって${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}}$。

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。