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組み合わせゲーム理論（数学の一分野）において、ホットゲームとは、各プレイヤーが次の手を指すことで自分の立場を改善できるゲームのことである。
対照的に、コールドゲームとは、各プレイヤーが次の手を指すことで自分の立場を悪化させるしかないゲームのことである。コールドゲームのクラスは超現実数のクラスと同等であり、値によって順序付けできるが、ホットゲームは他の値を持つことができる。[ 1 ]
また、温度がちょうどゼロのゲームである「ぬるいゲーム」も存在する。ぬるいゲームは、厳密に数値的なゲーム、つまり数と無限小の和に相当するゲームというクラスによって構成される。
例えば、プレイヤーが交互に自分の色のトークンをテーブルから取り除くゲームを考えてみましょう。青のプレイヤーは青いトークンだけを取り除き、赤のプレイヤーは赤いトークンだけを取り除き、最後にトークンを取り除いたプレイヤーが勝者となります。当然ながら、最初にトークンを多く持っているプレイヤーが勝利するか、赤と青のトークンの数が同じ場合は2番目のプレイヤーが勝利します。自分の色のトークンを取り除くと、そのプレイヤーはテーブル上のトークンが少なくなるため、状況が少し悪化します。このように、各トークンはゲームにおける「冷たい」要素を表しています。
ここで、数字「100」が書かれた特別な紫色のトークンを考えてみましょう。このトークンはどちらのプレイヤーでも取り除くことができ、取り除いたプレイヤーは紫色のトークンの代わりに自分の色のトークンを100個置きます。（コンウェイの記法では、紫色のトークンはゲーム{100|−100}です。）紫色のトークンは「ホット」な要素です。なぜなら、紫色のトークンを取り除くプレイヤーは非常に有利だからです。実際、テーブル上に紫色のトークンがある場合、プレイヤーはまず紫色のトークンを取り除き、赤や青のトークンは最後に残します。一般的に、プレイヤーはコールドゲームよりもホットゲームで動くことを常に好みます。ホットゲームで動くと自分の立場が有利になるのに対し、コールドゲームで動くと自分の立場が不利になるからです。
ゲームの温度は、2人のプレイヤーにとってのそのゲームの価値を測る尺度です。紫色の「100」トークンは、各プレイヤーにとって100回の移動が可能であるため、温度は100です。一般的に、プレイヤーは利用可能なコンポーネントの中で最も温度の高いものから移動することを好みます。たとえば、紫色の「100」トークンと、プレイヤーが自分の色のトークンを1,000個テーブル上に出すことができる紫色の「1,000」トークンがあるとします。各プレイヤーは、温度が100の「100」トークンよりも、温度が1,000の「1,000」トークンを取り除くことを好みます。
もう少し複雑な例を挙げると、ゲーム {10|2} + {5|−5} を考えてみましょう。{5|−5} は、どちらのプレイヤーも自分の色のトークン 5 個と交換できるトークンであり、{10|2} は、青のプレイヤーが青いトークン 10 個と交換するか、赤のプレイヤーが青いトークン 2 個と交換できるトークンです。
{10|2} コンポーネントの温度は ½(10 − 2) = 4 であり、{5|−5} コンポーネントの温度は 5 です。これは、各プレイヤーが {5|−5} コンポーネントでプレイすることを好むべきであることを示唆しています。実際、赤プレイヤーにとって最良の最初の動きは、{5|−5} を −5 に置き換えることです。すると、青プレイヤーは {10|2} を 10 に置き換え、合計 5 が残ります。赤プレイヤーが代わりに低温の {10|2} コンポーネントで動いた場合、最終局面は 2 + 5 = 7 となり、赤にとって不利になります。同様に、青プレイヤーにとって最良の最初の動きも、{10|2} コンポーネントで動くと短期的にはより多くの青トークンが得られるにもかかわらず、高温のコンポーネントである {5|−5} から 5 への動きです。
Snortというゲームでは、赤と青のプレイヤーが交互にグラフの頂点に色を付けていきます。ただし、辺で繋がっている2つの頂点は異なる色に塗ってはいけません。いつものように、最後に合法的な手を指したプレイヤーが勝者となります。プレイヤーの手によって隣接する頂点が実質的に自分専用に確保されるため、Snortの局面は一般的に「ホット」です。対照的に、よく似たゲームであるColでは、隣接する頂点が同じ色である必要はないため、局面は通常「コールド」です。
ホットゲームの理論は、囲碁のエンドゲーム戦略の分析に応用されている。[ 3 ] [ 4 ]