チェビシェフの和の不等式

数学において、パフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられたチェビシェフの和の不等式は、もし

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad }$そして${\displaystyle \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

それから

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}$

言い換えれば、非増加または非減少の2つの数列が与えられた場合、それらの平均値の積は、それらの（項ごとの）積の平均値よりも小さくなる。

同様に、

$\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\quad }$そして${\displaystyle \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

それから

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}$^{[ 1 ]}

合計を考える

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}$

2 つの数列は増加しないので、任意の j 、 k に対してa j − a _k とb _j  − b _k は同じ_符号 を持つ。したがってS ≥ 0である。   

括弧を開くと、次のことが推測されます。

${\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{j=1}^{n}b_{j},}$

したがって

$\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\!\!\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{j}\right)\!.}$

別の証明は、並べ替え不等式を用いて簡単に得られ、次のように記述する。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}a_{i}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i}=n\sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

チェビシェフの和の不等式には、連続版も存在する。

fとgが[ a , b ]上の実数値積分可能関数であり、両方とも非増加または両方とも非減少である場合、

$\displaystyle {\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq \!\left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\!\!\left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}g(x)\,dx\right)}$

一方が非増加関数で、もう一方が非減少関数である場合は、不等号の向きが逆になります。

• ハーディ・リトルウッドの不平等
• 並べ替え不等式