圏論における完備化

数学の一分野である圏論には、位相幾何学の完備化に似た方法で与えられた圏を拡大する方法（完備化）がいくつかあります。これらは次のとおりです（簡単のため集合論的な事柄は無視します）。

自由余完備化、自由完備化。これらは余極限または極限を自由に追加することで得られる。明示的には、カテゴリCの自由余完備化は、 C上の前層のカテゴリへのCの米田埋め込みである。^[1]^[2]Cの自由完備化は、 Cの反対の自由余完備化である。^[3]
- ind-completion。これは、フィルタリングされた余極限を自由に追加することによって得られます。
カテゴリCのコーシー完備化は、大まかに言って、すべての関手が極限を保存するような、あるアンビエントカテゴリにおけるCの閉包である。 ^[4]^{[5]たとえば、距離空間が拡張カテゴリ（}一般化距離空間を参照）として見られる場合、そのコーシー完備化は空間の通常の完備化と一致する。
1960年にイスベルによって導入されたイスベル完備化（再帰完備化とも呼ばれる） ^{[6]は、簡単に言えば}イスベル共役随伴の不動点圏である。^[7]^[8]これもイスベルによって導入されたイスベル包絡線と混同してはならない。
カロウビエンベロープまたはカテゴリCの冪等完備化は、（大まかに言えば）すべての冪等性が分割冪等性となるようなCの普遍的拡大である。 ^[9]
正確な完了

注記

エイブリー、トム; レンスター、トム (2021)、「イスベル共役と再帰完了」(PDF)、カテゴリーの理論と応用、36 : 306–347、arXiv : 2102.08290
ボルスー、フランシス。 Dejean、Dominique (1986)、「圏論におけるコーシーの完成」、Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques、27 (2): 133–146
カルボニ、A.; ヴィターレ、EM (1998)、「正規および正確な補完」、純粋および応用代数ジャーナル、125 (1–3): 79–116、doi :10.1016/S0022-4049(96)00115-6
デイ、ブライアン J.; ラック、スティーブン (2007)、「小さな関数の限界」、純粋および応用代数ジャーナル、210 (3): 651–663、arXiv : math/0610439、doi :10.1016/j.jpaa.2006.10.019
イズベル、JR (1960)、「適切なサブカテゴリ」、イリノイ数学ジャーナル、4 (4)、doi :10.1215/ijm/1255456274
「フリー補完」、ncatlab.org
「フリーココンプリーション」、ncatlab.org
「コーシー完全圏」、ncatlab.org
「Karoubi 封筒」、ncatlab.org
ウィラートン、サイモン (2013)、「タイトスパン、イズベル補完、半熱帯モジュール」、n-Category Café、arXiv : 1302.4370