キャットマル・ロム・スプライン

キャットマル・ロムスプラインは、カーディナルスプラインの特殊なケースです。これは、制御点の間隔が均一であることを前提としています。${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k}}$選択された接線については、

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}}$

3次エルミートスプラインの定義式において：

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=\left(2t^{3}-3t^{2}+1\right){\boldsymbol {p}}_{k}+\left(t^{3}-2t^{2}+t\right){\boldsymbol {m}}_{k}+\left(-2t^{3}+3t^{2}\right){\boldsymbol {p}}_{k+1}+\left(t^{3}-t^{2}\right){\boldsymbol {m}}_{k+1}}$

キャットマル・ロム・スプラインの以下の式が得られる。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\2&-5&4&-1\\-1&0&1&0\\0&2&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}_{k-1}\\{\boldsymbol {p}}_{k}\\{\boldsymbol {p}}_{k+1}\\{\boldsymbol {p}}_{k+2}\end{bmatrix}}}$

この曲線は、エドウィン・キャットマルとラファエル・ロムにちなんで名付けられました。この手法の主な利点は、元の点群に沿った点がスプライン曲線の制御点も構成することです。^{[ 1 ]}

曲線の両端にさらに 2 つの点が必要です。均一な Catmull–Rom 実装では、ループや自己交差が発生する可能性があります。弦状および求心性の Catmull–Rom実装^{[ 3 ]}はこの問題を解決しますが、少し異なる計算を使用します。^{[ 4 ]}コンピュータ グラフィックスでは、Catmull–Rom スプラインは、キー モーメント間の滑らかな動きを作成する一般的な方法です。^{[ 5 ]}例えば、一連のカメラ キー フレームを流動的なカメラ パスに変換するためによく使用されます。^{[ 6 ]}

参照論文^{[ 1 ]}は、定義点を通過するスプラインのクラスに関するものです。以下のブレンド関数のグラフと実験結果が示されており、「ケース3」はCatmull–Romスプライン曲線です。 ^{[ 7 ]}

スプラインのモデルは次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {F} (t)=\sum _{j}^{}{\mathbf {p} }_{j}C_{jk}(t)}$

どこ${\displaystyle {\mathbf {p} }_{j}}$定義点である、${\displaystyle C_{jk}(t)}$シフトされたブレンド関数${\displaystyle C_{0,k}(t)}$区間へ${\displaystyle 0\leq t<1}$。

左から順に、ブレンド関数の例を以下に示します。${\displaystyle C_{0,k}(t)}$シフトした${\displaystyle C_{jk}(t)}$曲線${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$。

ブレンド関数は、以下の基本関数です。 ^{[注1 ]}

${\displaystyle C_{0,k}(t)=\sum _{i=0}^{k}\left[\prod _{\begin{array}{c}j=ik\\j\neq 0\end{array}}^{i}\left({\frac {t}{j}}+1\right)\right]w(t+i)}$

線形ラグランジュ補間が使用されるため、${\displaystyle k=1}$、 その結果：

${\displaystyle C_{0,1}(t)=(1-t)w(t)+(1+t)w(1+t)}$

どこ${\displaystyle w(t)}$これは、二次一様Bスプラインの基底関数をシフトすることによって得られるブレンド関数です。

左から順に、二次一様Bスプラインのブレンド関数と、シフト前の基底関数を示します。

各項のグラフは${\displaystyle C_{0,1}(t)}$内容は以下のとおりです。

これを適用する${\displaystyle w(t)}$に${\displaystyle C_{0,1}(t)}$:

${\displaystyle C_{0,1}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}}t^{3}+{\frac {5}{2}}t^{2}+4t+2&for\quad -2\leq t<-1\\-{\frac {3}{2}}t^{3}-{\frac {5}{2}}t^{2}+1&for\quad -1\leq t<0\\{\frac {3}{2}}t^{3}-{\frac {5}{2}}t^{2}+1&for\quad 0\leq t<1\\-{\frac {1}{2}}t^{3}+{\frac {5}{2}}t^{2}-4t+2&for\quad 1\leq t<2\end{array}}\right.}$

これらを区間にシフトすると、${\displaystyle 0\leq t<1}$与える${\displaystyle C_{j1}(t)}$それらをマトリックス形式に並べると次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} (t)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\2&-5&4&-1\\-1&0&1&0\\0&2&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {p} }_{j}\\{\mathbf {p} }_{j+1}\\{\mathbf {p} }_{j+2}\\{\mathbf {p} }_{j+3}\end{bmatrix}}}$

これは、3次エルミートスプラインによる定義と一致する。

2つのCatmull–Romスプラインのデカルト積をとることで、点のグリッドを補間する2変数曲面を得ることができる。^{[ 9 ]}

これは、次の式で表される双三次パッチです。

${\displaystyle \mathbf {F} (t,u)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}\mathbf {M} {\begin{bmatrix}{\mathbf {p} }_{11}&{\mathbf {p} }_{12}&{\mathbf {p} }_{13}&{\mathbf {p} }_{14}\\{\mathbf {p} }_{21}&{\mathbf {p} }_{22}&{\mathbf {p} }_{23}&{\mathbf {p} }_{24}\\{\mathbf {p} }_{31}&{\mathbf {p} }_{32}&{\mathbf {p} }_{33}&{\mathbf {p} }_{34}\\{\mathbf {p} }_{41}&{\mathbf {p} }_{42}&{\mathbf {p} }_{43}&{\mathbf {p} }_{44}\end{bmatrix}}\mathbf {M} ^{T}{\begin{bmatrix}u^{3}\\u^{2}\\u\\1\end{bmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\2&-5&4&-1\\-1&0&1&0\\0&2&0&0\end{bmatrix}}}$

このパッチは中央の4点を補間する。隣接するパッチは1階微分において連続性を持つ。

場合によっては、キャットマル・ロム・スプラインは次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=\tau ({\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1})}$、

ここで、接線ベクトルの係数は${\displaystyle 1/2}$に置き換えられます${\displaystyle \tau }$[ ^{10 ]​}​

この場合、定義式は以下のとおりです。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\tau &2-\tau &\tau -2&\tau \\2\tau &\tau -3&3-2\tau &-\tau \\-\tau &0&\tau &0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}_{k-1}\\{\boldsymbol {p}}_{k}\\{\boldsymbol {p}}_{k+1}\\{\boldsymbol {p}}_{k+2}\end{bmatrix}}}$

関係${\displaystyle \tau }$そして、 Kochanek–Bartelsスプラインの張力パラメータ（以下、${\displaystyle \tau _{KB}}$）は以下のとおりです。 ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \tau ={\frac {1-\tau _{KB}}{2}}}$

そして、それに相当する3次ベジェ曲線の制御点は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\mathbf {p_{bz}} }_{0}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{1}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{2}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}0&3&0&0\\-\tau &3&\tau &0\\0&\tau &3&-\tau \\0&0&3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{k-1}\\\mathbf {p} _{k}\\\mathbf {p} _{k+1}\\\mathbf {p} _{k+2}\end{bmatrix}}}$

• 立方体エルミートスプライン
• 求心性キャットマル・ロムスプライン
• 双三次補間
• ベジェ曲線
• Bスプライン
• コハネク・バーテルズスプライン