バスガングの定理

数学において、ブスガングの定理は確率解析の定理である。この定理は、ガウス信号が非線形演算を通過する前と通過した後の相互相関は、定数までの信号の自己相関に等しいことを述べている。この定理は、1952年にマサチューセッツ工科大学に在籍していたジュリアン・J・ブスガングによって初めて発表された。^[1]

をゼロ平均定常ガウスランダム過程とし、を非線形振幅歪みと します。${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}=g(X(t))}$${\displaystyle g(\cdot )}$

が の自己相関関数である場合、との相互相関関数は ${\displaystyle R_{X}(\tau )}$${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}}$

${\displaystyle R_{XY}(\tau )=CR_{X}(\tau ),}$

ここで、 はのみに依存する定数です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle g(\cdot )}$

さらに、

${\displaystyle C={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }ug(u)e^{-{\frac {u^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du.}$

2次元正規分布の性質として、との結合密度はそれらの共分散のみに依存し、次の式で明示的に表される。 ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}$

ここで、 および は相関 を持つ標準ガウス確率変数です。 ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle \phi _{y_{1}y_{2}}=\rho }$

と仮定すると、との相関は、 ${\displaystyle r_{2}=Q(y_{2})}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}\,dy_{1}dy_{2}}$。

以来

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y_{1}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}y_{1}^{2}+{\frac {\rho y_{2}}{1-\rho ^{2}}}y_{1}}\,dy_{1}=\rho {\sqrt {2\pi (1-\rho ^{2})}}y_{2}e^{\frac {\rho ^{2}y_{2}^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$、

この相関関係は 次のように簡略化できる。 ${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {\rho }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$。

上記の積分は歪み特性のみに依存し、 とは無関係であることが分かります。 ${\displaystyle Q()}$${\displaystyle \rho }$

それを思い出すと、与えられた歪み特性に対して、比率は であることがわかります。 ${\displaystyle \rho =\phi _{y_{1}y_{2}}}$${\displaystyle Q()}$${\displaystyle {\frac {\phi _{y_{1}r_{2}}}{\phi _{y_{1}y_{2}}}}}$${\displaystyle K_{Q}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$

したがって、相関関係は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}=K_{Q}\phi _{y_{1}y_{2}}}$。

上記の式は、「Bussgang の定理」を数学的に表現したものです。

、または を 1 ビット量子化と呼ぶ場合、 となります。 ${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$${\displaystyle K_{Q}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }y_{2}e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

^{[2] [3] [1] [4]}

2つのランダム変数が両方とも歪んでいる場合、つまり の場合、との相関は${\displaystyle r_{1}=Q(y_{1}),r_{2}=Q(y_{2})}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }Q(y_{1})Q(y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$。

のとき、式は次のようになります。${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]}$

どこ。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$

それに気づいて

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]=1}$、

そして、、 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$

の式を次のように簡略化することができる。${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-1}$

また、極座標を導入すると便利です。これにより、 ${\displaystyle y_{1}=R\cos \theta ,y_{2}=R\sin \theta }$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}-2R^{2}\rho \cos \theta \sin \theta \ }{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}(1-\rho \sin 2\theta )}{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1}$。

統合により

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {2{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{1-\rho \sin 2\theta }}-1=-{\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {\rho -\tan \theta }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}-1={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$，

これは「アークサイン法則」と呼ばれ、1943年にJHヴァン・ヴレックによって初めて発見され、1966年に再発表されました。 ^{[2] [3]}「アークサイン法則」は、プライスの定理を適用することでより簡単な方法で証明することもできます。^{[4] [5]}

が小さい場合、関数はとして近似できます。 ${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin x}$${\displaystyle f(x)\approx {\frac {2}{\pi }}x}$${\displaystyle x}$

2つの同時正規確率変数と同時確率関数が与えられた場合${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle {\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}}$、

私たちは平均を形成する

${\displaystyle I(\rho )=E(g(y_{1},y_{2}))=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$

の何らかの関数。の場合、${\displaystyle g(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$${\displaystyle g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}=E\left({\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\right)}$。

証明。確率変数の結合特性関数は定義により積分である。${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle \Phi (\omega _{1},\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})e^{j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,dy_{1}dy_{2}=\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}}$。

フーリエ変換の2次元逆変換式から、

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}}$。

したがって、 の式を に代入し、 について微分すると、次の式が得られます。${\displaystyle p(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle I(\rho )}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})}{\partial \rho ^{n}}}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {(-1)^{n}}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\omega _{1}^{n}\omega _{2}^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2}){\frac {\partial ^{2n}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\\end{aligned}}}$

部分積分を繰り返し、 における条件を使用すると、プライスの定理が得られます。${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}{\frac {\partial ^{2n-2}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n-1}\partial y_{2}^{n-1}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\cdots \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\end{aligned}}}$

^{[4] [5]}

の場合、ディラックのデルタ関数は どこになりますか。${\displaystyle g(y_{1},y_{2})={\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}=4\delta (y_{1})\delta (y_{2})}$${\displaystyle \delta ()}$

これをプライスの定理に代入すると、

${\displaystyle {\frac {\partial E({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2}))}{\partial \rho }}={\frac {\partial I(\rho )}{\partial \rho }}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }4\delta (y_{1})\delta (y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}}$。

のとき、したがって${\displaystyle \rho =0}$${\displaystyle I(\rho )=0}$

${\displaystyle E\left({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})\right)=I(\rho )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,d\rho ={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$、

これは、Van Vleck の「逆正弦法則」のよく知られた結果です。

^{[2] [3]}

この定理は、簡略化された相関器を設計できることを意味します。^[要説明] 2 つの信号を乗算する代わりに、相互相関の問題は、1 つの信号と別の信号のゲーティング^[要説明]に簡略化されます。^[要出典]

• EW Bai、V. Cerone、D. Regruto (2007)「ブロック指向非線形システムの識別のための分離可能な入力」、2007 年アメリカ制御会議の議事録(ニューヨーク市、2007 年 7 月 11 ～ 13 日) 1548 ～ 1553