バークの定理

数学的確率論の一分野である待ち行列理論において、バークの定理（バークの出力定理^[1]と呼ばれることもある）は、ベル電話研究所に勤務していたポール・J・バークが唱え、実証した定理であり、到着のある定常状態のM/M/1 待ち行列、M/M/c 待ち行列、またはM/M/∞ 待ち行列は、速度パラメータ λ を持つポアソン過程であると主張する。

1. 出発過程は、速度パラメータ λ を持つポアソン過程です。
2. 時刻tにおける待ち行列内の顧客数は、時刻t以前の出発プロセスとは無関係です 。

バークは1956年にこの定理を証明とともに初めて発表した。^[2]この定理はオブライエン（1954年）とモース（1955年）によって予想されていたが証明されなかった。^{[3] [4] [5]}この定理の2番目の証明は、ライヒによって発表されたより一般的な結果から導かれる。^[6]バークによって提示された証明は、連続する出発間の時間間隔が到着率パラメータに等しいパラメータで独立かつ指数分布していることを示しており、そこから結果が導かれる。

別の証明は、逆過程を考え、M/M/1待ち行列が可逆確率過程であることに注目することによって可能である。^[7]図を考えてみよう。コルモゴロフの可逆性基準によれば、あらゆる出生-死亡過程は可逆マルコフ連鎖である。順方向マルコフ連鎖の到着瞬間は、逆方向マルコフ連鎖の出発瞬間である点に注意されたい。したがって、出発過程は速度 λ のポアソン過程である。さらに、順方向過程では、時刻 t での到着は、t 後の顧客数とは無関係である。したがって、逆方向過程では、待ち行列内の顧客数は、時刻 tより前の出発過程とは無関係である。

この証明は、誕生と死亡のプロセスの出発プロセスが提供されるサービスとは無関係であるという意味で、直感に反する可能性があります。

この定理は「ごく一部のケース」にのみ一般化できるが、M/M/cキューとGeom/Geom/1キューにも有効である。^[7]

バークの定理はマルコフ到着過程（MAP）によって供給されるキューには適用されないと考えられており、キューがM/M/1キューである場合にのみMAP/M/1キューの出力プロセスがMAPであると推測される。^[8]

ブラウン運動の類似の定理はJ.マイケル・ハリソンによって証明された。^{[3] [9]}