ブールネットワーク

ブールネットワークは、ブール変数の離散セットで構成され、各ブール変数にはブール関数（変数ごとに異なる可能性あり）が割り当てられており、ブール関数は変数のサブセットから入力を受け取り、割り当てられた変数の状態を決定する出力を取得します。この関数セットは、実際には変数セットのトポロジ（接続性）を決定し、それがネットワークのノードになります。通常、システムのダイナミクスは離散時系列として扱われ、時刻t +1でのネットワーク全体の状態は、時刻tでのネットワークの状態に対する各変数の関数を評価することによって決定されます。これは、同期または非同期で行うことができます。^[1]

ブールネットワークは生物学において制御ネットワークをモデル化するために使われてきました。ブールネットワークは遺伝子が単純なバイナリスイッチではない遺伝的現実を大雑把に単純化したものですが、発現遺伝子と抑制遺伝子の正しいパターンを正しく伝えるケースがいくつかあります。^{[2] [3]} 一見数学的に簡単な（同期）モデルは、2000年代半ばになってようやく完全に理解されました。^[4]

ブールネットワークは、時間と状態が離散的である、つまり時系列内の変数のセットと状態のセットの両方が整数のシリーズに 一対一に対応する、特定の種類の順次動的システムです。

ランダム ブール ネットワーク( RBN) は、特定のサイズN のすべての可能なブール ネットワークのセットからランダムに選択されたものです。その後、そのようなネットワークの予想される特性が、すべての可能なネットワークの集合のさまざまな統計特性にどのように依存するかを統計的に調べることができます。たとえば、平均接続が変化すると RBN の動作がどのように変化するかを調べることができます。

最初のブールネットワークは、1969年にスチュアート・A・カウフマンによって遺伝子制御ネットワークのランダムモデルとして提案されました^[5]が、その数学的な理解は2000年代になってから始まりました^{[6] [7] 。}

ブールネットワークには 2 ^N通りの状態しか存在しないため、軌道は遅かれ早かれ以前に訪れた状態に到達します。したがって、ダイナミクスは決定論的であるため、軌道はアトラクターと呼ばれる定常状態またはサイクルに陥ります(ただし、より広い意味での力学システムの分野では、サイクルは、そこからの摂動がそこに戻る場合にのみアトラクターになります)。アトラクターが単一の状態のみを持つ場合、それはポイント アトラクターと呼ばれ、アトラクターが複数の状態で構成される場合はサイクル アトラクターと呼ばれます。アトラクターにつながる状態の集合は、アトラクターのベイスンと呼ばれます。軌道の最初にのみ発生する状態 (その状態につながる軌道はありません) は、エデンの園状態[ ^8]と呼ばれ、ネットワークのダイナミクスはこれらの状態からアトラクターに向かって流れます。アトラクターに到達するのにかかる時間は、過渡時間^[4]と呼ばれます。

コンピュータの性能が向上し、一見単純なモデルに対する理解が深まるにつれて、さまざまな著者がアトラクターの平均数と長さについてさまざまな推定値を示しました。ここでは主要な出版物の簡単な要約を示します。^[9]

動的システム理論では、ネットワークのアトラクターの構造と長さは、ネットワークの動的フェーズに対応します。ブールネットワークの安定性は、ノードの接続に依存します。ブールネットワークは、安定、臨界、またはカオスの動作を示すことができます。この現象は、ノードの接続の平均数の臨界値 ( ) によって制御され、距離の尺度としてのハミング距離によって特徴付けられます。不安定な状態では、最初は近い 2 つの状態間の距離は平均して時間の経過とともに指数関数的に増加しますが、安定した状態では指数関数的に減少します。ここで、「最初は近い状態」とは、ハミング距離がネットワーク内の ノード数 ( ) に比べて小さいことを意味します。${\displaystyle K_{c}}$${\displaystyle N}$

NKモデル^[15]の場合、ネットワークは の場合に安定、 の場合に臨界、 の場合に不安定となります。 ${\displaystyle K<K_{c}}$${\displaystyle K=K_{c}}$${\displaystyle K>K_{c}}$

特定のノードの状態は、その真理値表に従って更新されます。真理値表の出力はランダムに設定されます。は、特定の一連の入力信号にオフ出力を割り当てる確率を示します。 ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

すべてのノードについて、安定範囲とカオス範囲の間の遷移はに依存します。ベルナール・デリダとイヴ・ポモー^[16]によると 、平均接続数の臨界値は です。 ${\displaystyle p_{i}=p=const.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K_{c}=1/[2p(1-p)]}$

が定数でなく、入次数と出次数の間に相関がない場合、安定性の条件は^{[17] [18] [19]}によって決定されます。 の場合、ネットワークは安定であり、 の場合、臨界的であり 、 の場合、不安定です。${\displaystyle K}$${\displaystyle \langle K^{in}\rangle }$${\displaystyle \langle K^{in}\rangle <K_{c}}$${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =K_{c}}$${\displaystyle \langle K^{in}\rangle >K_{c}}$

スケールフリー トポロジーを持つネットワークの場合、入次数分布と出次数分布がべき乗分布であるとき、安定条件は同じである：、そして、あるノードからのすべての出リンクは別のノードへの入リンクであるため。^[20]${\displaystyle P(K)\propto K^{-\gamma }}$${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =\langle K^{out}\rangle }$

感度は、与えられたノードの入力が変化した場合、そのノードのブール関数の出力が変化する確率を示します。ランダムブールネットワークの場合、 です 。一般的なケースでは、ネットワークの安定性は行列 の最大固有値によって決まります。ここで、 、 は ネットワークの隣接行列です。 ^[21]の場合、ネットワークは安定であり、の場合、臨界であり、 の場合、不安定です。 ${\displaystyle q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle \lambda _{Q}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q_{ij}=q_{i}A_{ij}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{Q}<1}$${\displaystyle \lambda _{Q}=1}$${\displaystyle \lambda _{Q}>1}$

1 つのテーマは、さまざまな基礎となるグラフ トポロジを研究することです。

• 均質なケースは、単に有名なイジングモデルに簡約されたグリッドを指します。
• ブールネットワークではスケールフリートポロジーが選択される場合がある。^[22]べき乗分布において入次数分布のみの場合、^[23]または出次数分布のみの場合、あるいはその両方の場合を区別することができる。

古典的なブールネットワーク（CRBN、つまりClassic Random Boolean Networkと呼ばれることもある）は同期的に更新される。遺伝子は通常同時に状態を変えないという事実に動機づけられて、^[24]さまざまな代替案が導入されてきた。一般的な分類^[25]は次の通りである。

• 決定論的非同期更新ブールネットワーク（DRBN）は同期的に更新されませんが、決定論的な解が存在します。ノードiはt≡Qi （ modPi ）_のときに更新されます。ここでtは時間ステップです。_[ ^26]
• 最も一般的なケースは、完全な確率的更新 ( GARBN、一般的な非同期ランダム ブール ネットワーク) です。ここでは、計算ステップごとに 1 つ (または複数) のノードが選択され、更新されます。
• 部分観測ブール動的システム（POBDS）^{[27] [28] [29] [30]}信号モデルは、ブール状態ベクトルの直接観測可能性の仮定を取り除き、観測プロセスにおける不確実性を許容することで、実際に遭遇するシナリオに対処することで、これまでのすべての決定論的および確率論的ブールネットワークモデルとは異なります。
• 自律ブールネットワーク（ABN ）は連続時間（ tは整数ではなく実数）で更新され、競合状態や決定論的カオスなどの複雑な動的動作につながります。 ^{[31] [32]}

• スケーラブル最適ベイズ分類^[33]は、 潜在的なモデルの不確実性を考慮した軌道の最適な分類を開発し、また、最適解よりもはるかに低い複雑性で大規模ネットワークに対して高度にスケーラブルな粒子ベースの軌道分類を提案した。

• NKモデル

• Dubrova, E.、Teslenko, M.、Martinelli, A.、(2005)。*Kauffman ネットワーク: 分析とアプリケーション、「Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design」、479-484 ページ。

• 動的代数モデルの分析 (ADAM) v1.1
• bioasp/bonesis: ネットワークアーキテクチャと動的特性から最も許容度の高いブールネットワークを合成
• CoLoMoTo (論理モデルとツールのコンソーシアム)
• DDラボ
• NetBuilder ブールネットワークシミュレータ
• オープンソースのブールネットワークシミュレーター
• JavaScript カウフマンネットワーク
• 確率的ブールネットワーク (PBN)
• RBNラボ
• ブールネットワークのアトラクターを計算するための SAT ベースのツール