ブロッホの原理

ブロッホの原理は、アンドレ・ブロッホ によって提唱された数学の哲学的原理である。^[1]

ブロックは、この原理をラテン語で次のように述べている。「Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito」。これを次のように説明している。「実際の無限が記述されているすべての命題は、常に、無限が記述されていない命題、つまり有限項の命題からほぼ直接的に導かれた帰結であると考えることができる。」

ブロッホは主にこの原理を複素変数の関数の理論に適用しました。したがって、たとえば、この原理によれば、ピカールの定理はショットキーの定理に対応し、ヴァリロンの定理はブロッホの定理に対応します。

ブロッホは彼の原理に基づいて、アールフォースの五島定理、 超平面を省略した正則曲線に関するカルタンの定理、[ ^2] ネヴァンリンナ理論では例外的な半径のセットが避けられないというヘイマンの結果など、いくつかの重要な結果を予測または推測することができました。

最近では、ブロッホ原理の精神に沿った厳密な記述とみなすことができるいくつかの一般定理が証明されました。

単位円板上の有理型関数族が正規でないのは、次の関数が存在する場合のみである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Delta }$

• 数字${\displaystyle 0<r<1}$
• ポイント${\displaystyle z_{n},}$ ${\displaystyle |z_{n}|<r}$
• 機能${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {F}}}$
• 数字${\displaystyle \rho _{n}\to 0+}$

のコンパクト部分集合上で球面一様となるような関数であり、ここで は^[3]上の非定数有理型関数である。${\displaystyle f_{n}(z_{n}+\rho _{n}\zeta )\to g(\zeta ),}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle g}$${\displaystyle C.}$

Zalcman の補題は、複数の複素変数に一般化できます。まず、次のものを定義します。

定義域上の正則関数の族は、関数のすべての列に、の各コンパクト部分集合上で極限関数に一様収束する部分列、または の各コンパクト部分集合上で に一様収束する部分列のいずれかが含まれる場合、 において正規である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Omega \subset C^{n}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \{f_{j}\}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f\neq \infty}$${\displaystyle \オメガ,}$${\displaystyle \infty}$

クラスのあらゆる関数に対して、各点においてエルミート形式 を定義し 、それを関数のレヴィ形式と呼ぶ。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle C^{2}(\オメガ )}$${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle L_{z}(\varphi ,v):=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z_{k}\partial {\overline {z}}_{l}}}(z)v_{k}{\overline {v}}_{l}\ \ (v\in C^{n}),}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z.}$

関数が集合 上で正則な場合、 この量はよく定義されており、レヴィ形式はすべてのに対して非負である。 特に、上記の式は、形を取り 、球面計量と一致する。${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle f^{\sharp }(z):=\sup _{|v|=1}{\sqrt {L_{z}(\log(1+|f|^{2}),v)}}.}$${\displaystyle L_{z}(\log(1+|f|^{2}),v)}$${\displaystyle z\in \Omega .}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f^{\sharp }(z):={\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}}$${\displaystyle z^{\sharp }}$${\displaystyle C.}$

マーティの定理によれば、球面微分が局所的に有界である場合にのみ族は正規であるという。^[4]

上の正則関数族がある点で正規ではないと仮定すると、その列が局所的に一様収束し、非定数整関数を満たすような列が存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Omega \subset C^{n}}$${\displaystyle z_{0}\in \Omega .}$${\displaystyle f_{j}\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle z_{j}\to z_{0},}$ ${\displaystyle \rho _{j}=1/f_{j}^{\sharp }(z_{j})\to 0,}$${\displaystyle g_{j}(z)=f_{j}(z_{j}+\rho _{j}z)}$${\displaystyle C^{n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{\sharp }(z)\leq g^{\sharp }(0)=1}$

Xをコンパクトな 複素解析多様体とし、複素平面からX へのすべての正則写像が定数であるとする。すると、ポアンカレ計量を持つ単位円からXへのすべての正則写像が距離を増加させないようなX上の計量が存在する。 ^[5]