ブロックの高次チョウ群

代数幾何学において、ブロッホの高次チョウ群はチョウ群の一般化であり、モティヴィックコホモロジー（滑らかな多様体の場合）の先駆者であり基本的な例である。これはスペンサー・ブロッホ（Bloch 1986）によって導入され、基本理論はブロッホとマーク・レヴァインによって発展させられた。

より正確に言えば、ヴォエヴォツキーの定理^[1]は、体上の滑らかなスキーム Xと整数p、qに対して、自然な同型が存在すること を意味している。

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}$

モチーフコホモロジー群と高次チョウ群の間。

高次のチョウ群の動機の1つはホモトピー理論から来ています。特に、がの代数的サイクルで、がサイクル を介して有理的に同値である場合、 はと の間のパスとして考えることができ、高次のチョウ群は高次のホモトピー一貫性の情報をエンコードすることを目的としています。たとえば、${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}$

はサイクルのホモトピー類として考えることができるが、

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}$

サイクルのホモトピーのホモトピー類として考えることができます。

X を体上の準射影代数スキームとします (「代数的」とは分離され有限型であることを意味します) 。

各整数について、定義する ${\displaystyle q\geq 0}$

${\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [t_{0},\dots ,t_{q}]/(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}$

これは、標準的なq単体の代数的類似体です。各シーケンス に対して、と同型である閉じた部分スキーム はの面と呼ばれます。 ${\displaystyle 0\leq i_{1} <i_{2} <\cdots <i_{r}\leq q}$${\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}$${\displaystyle \Delta ^{qr}}$${\displaystyle \Delta ^{q}}$

各iに対して、埋め込み

${\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}$

X上の代数的iサイクルの群を と書き、 の各面Fに対してと適切に交差する閉じた部分多様体によって生成される部分群を と書きます。 ${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle \Delta ^{q}}$

は有効なカルティエ因子なので、ギシン準同型が存在する。 ${\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}$

${\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}$、

（定義により）部分多様体Vを交差に写像する ${\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}$

連鎖複素数を生成する 境界演算子を定義する${\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}$

${\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}$

最後に、Xのq番目の高次の Chow 群は、上記の複合体の q番目のホモロジーとして定義されます。

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}$

（もっと簡単に言えば、 は当然単体アーベル群なので、ドルド・カン対応を考慮すると、高次のチョウ群 もホモトピー群 として定義できます。） ${\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}$${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}$

例えば、^[2]が面との交差が適切であるような閉部分多様体である場合、となり 、これは命題1.6により、フルトンの交差理論において、の像がまさにゼロと有理的に同値な閉路群であることを意味する。つまり、 ${\displaystyle V\subset X\times \Delta ^{1}}$${\displaystyle V(0),V(\infty )}$${\displaystyle 0,\infty }$${\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}$${\displaystyle d_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}$Xのr番目のChow グループ。

適切な写像は高次のチャウ グループ間で共変ですが、平坦な写像は反変です。また、が滑らかな場合は、への写像は反変です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

が代数的ベクトル束である 場合、ホモトピー同値性が存在する。${\displaystyle E\to X}$

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)}$

閉等次元部分スキームが与えられた場合、局所長完全列が存在する。${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\to {\text{CH}}^{*}(X,2)\to {\text{CH}}^{*}(U,2)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\to {\text{CH}}^{*}(X,1)\to {\text{CH}}^{*}(U,1)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\to {\text{CH}}^{*}(X,0)\to {\text{CH}}^{*}(U,0)\to &{\text{ }}0\end{aligned}}}$

ここで、特に、これは、より高い食事グループが食事グループの正確なシーケンスを自然に拡張することを示しています。 ${\displaystyle U=XY}$

(Bloch 1994)は、開集合 が与えられた場合、 に対して、 ${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle Y=XU}$

${\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}$

はホモトピー同値である。特に、が純粋な余次元を持つ場合、高次のチョウ群の長完全列（局所列と呼ばれる）が得られる。 ${\displaystyle Y}$

• ブロック、スペンサー（1986年9月）。「代数サイクルと高次K理論」。数学の進歩。61 ：267-304。doi ：10.1016/0001-8708（86）90081-2。
• ブロック、スペンサー (1994)。「高次チョウ群の可動補題」代数幾何学ジャーナル3 : 537–568。
• ピーター・ヘイン「モティヴィック・コホモロジーの概要」
• Vladmir Voevodsky、「モティヴィックコホモロジー群は任意の特性において高次のチョウ群と同型である」、International Mathematics Research Notices 7 (2002)、351–355。