バークレー枢機卿

集合論において、バークレー基数は、 1992 年頃に カリフォルニア大学バークレー校のセミナーでヒュー・ウッディンが提案した特定の大きな基数です。

バークレー基数は、ツェルメロ-フランケル集合論のモデルにおける基数κであり、 κと α < κを含むすべての推移集合Mに対して、 α <臨界点< κを満たすMのMへの非自明な基本埋め込みが存在するという性質を持つ。^{[1]バークレー基数は}ラインハルト基数よりも厳密に強い基数公理であり、選択公理と互換性がないことを意味する。

バークレー基数であることの弱点は、V _κ上の任意の二項関係Rに対して、( V _κ , R )のそれ自身へ の非自明な基本埋め込みが存在することである。これは、基本

j ₁、j ₂、j ₃、...

j ₁ : ( V _κ , ∈) → ( V _κ , ∈),

j ₂ : ( V _κ , ∈, j ₁ ) → ( V _κ , ∈, j ₁ ),

j ₃ : ( V _κ , ∈, j ₁ , j ₂ ) → ( V _κ , ∈, j ₁ , j ₂ )、

などなど。これは、モデルが従属的選択を持つ限り、有限回数続けることができます。したがって、おそらく、この概念は、従属的選択をさらに主張するだけで強化できます。

これらの概念はすべてツェルメロ-フランケル集合論 (ZFC) と互換性がありませんが、その結果は間違っているようには見えません。たとえば、 すべての順序数 λ に対して、λ シーケンスで閉じている ZF + バークレー基数の推移モデルが存在するという主張は、ZFC と矛盾しません。 ${\displaystyle \Pi _{2}^{V}}$

• 大きな基数特性のリスト

• チェン、エヴァン、ケルナー、ピーター(2015)、数学 145b 講義ノート(PDF)
• ケルナー、ピーター (2014)、「深い矛盾の探求」(PDF)